Geometría proyectiva: Determinación de elementos homólogos en series proyectivas

Uno de los primeros problemas que debemos aprender a resolver en geometría proyectiva es la determinación de elementos homólogos, tanto en haces como en series y en cualquier disposición de sus bases, superpuestas o separadas.

Para iniciar el estudio de la metodología a emplear usaremos como siempre el modelo basado en elementos “puntos”, ya que es más sencillo de interpretar, suponiendo además que las bases de las correspondientes series a relacionar se encuentran separadas.

Nos plantearemos por lo tanto la determinación de elementos homólogos en dos series proyectivas que no tienen elementos en común. El enunciado del problema, de forma general, puede ser:

Dadas dos series proyectivas definidas mediante tres parejas de elementos (puntos) homólogos, determinar el homólogo de un punto dado.

El punto dato puede pertenecer a cualquiera de las series y el que buscamos pertenecerá en consecuencia a la base de la otra.

Este problema lo resolveremos mediante el uso de perspectividades intermedias que estableceremos entre las dos series proyectivas, obteniendo para ello el eje proyectivo de las dos series (recta e). Tal y como vimos, el eje proyectivo de las series es el eje perspectivo de los haces que obtenemos al proyectar los puntos de una serie desde un elemento cualquiera de la otra, y proyectar simultáneamente sus homólogos desde el homólogo del elemento geométrico usado como vértice en la primera proyección.

Eje proyectivo de dos series (Eje perspectivo de los haces)

Deberemos determinar en cualquier caso, por lo tanto, el eje proyectivo de dos series.

Obtención del eje proyectivo de dos series:

Los diferentes casos que pueden darse vendrán determinados por los datos que definan las series proyectivas, pudiendo ser en principio:

Pares de puntos homólogos ordinarios (3 máximos)
Puntos límites u homólogos de puntos impropios ( hasta dos posibles)
Homólogos de los puntos de intersección de las bases ( 2 máximo)
Dirección del eje proyectivo

Podemos combinar estos datos para determinar un problema concreto, siempre que aportemos el número necesario de ellos. El problema quedará determinado cuando conozcamos tres parejas de elementos homólogos o datos equivalentes. Resolveremos por lo tanto este primer caso:

Dados tres puntos de una serie y sus homólogos, determinar el eje proyectivo de dichas series

Los datos son los puntos A, B y C así como sus correspondientes puntos homólogos A’, B’ y C’. El punto de intersección de las bases M=N’ contendrá un punto de cada una de las series.

Para determinar el eje proyectivo necesitaremos un par de puntos del mismo. Estos los podemos determinar como intersección de dos rayos homólogos de dos haces perspectivos de vértices un par de puntos homólogos.

El punto “1” puede ser considerado como un punto de intersección de dos rayos homólogos de los haces que se obtienen al proyectar desde A y A’ los puntos B y B’, pero también podemos entender que los vértices de los haces son B y B’ y los puntos proyectados A y A’.

El eje ha quedado determinado por el punto anterior y por el punto “2” que se ha obtenido de forma similar al anterior, al relacionar los puntos B y C con sus homólogos B’ y C’.

Los homólogos de la intersección de las bases son los puntos de intersección del eje proyectivo con cada una de las bases. Estos elementos pueden obtenerse al igual que cualquier punto X desconocido.

Obtención de elementos homólogos

Utilizando el eje proyectivo es fácil determinar el homólogo de cualquier punto; como ejemplo obtendremos el homólogo de un punto X.

Para simplificar la figura nos quedaremos con un elemento A y su homólogo A´y el eje proyectivo de las series.

Si proyectamos desde A’ el punto X, el rayo generado y su homólogo (del haz de vértice A) se cortarán en el eje proyectivo (punto “3”). El rayo homólogo contendrá al elemento (X’) buscado.

Elementos Límites

De forma análoga al caso visto para el punto X, podemos obtener los denominados “puntos límites” que son los homólogos de los puntos impropios de las series (puntos del infinito). En la siguiente figura se determina el homólogo de uno de ellos, correspondiente al impropio de la serie s. Proyectar el punto desde una de las series se limita a obtener el rayo paralelo a la serie que pasa por el vértice de proyección. La intersección de este rayo con el eje proyectivo (punto 4) permitirá obtener el rayo homólogo del haz perspectivo y en consecuencia el punto buscado.