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Geometría proyectiva: Diámetros polares conjugados

Diametros_PolaresHemos visto la definición de diámetros polares conjugados, dada al analizar el concepto de direcciones conjugadas:

Diámetros polares conjugados: Son las polares de dos puntos impropios conjugados.

Vamos a ver cómo podemos relacionar este concepto con el de triángulo autopolar visto en las involuciones en series de segundo orden.

Al establecer una involución en una cónica entre dos parejas de puntos, obteníamos un centro de involución (E) y un eje de involución (e) que los relacionaba. Cada par de puntos homólogos, A-A’, se encontraban alineados con el centro E de involución y al proyectar desde ellos cualquier pareja de elementos homólogos, estos rayos, perspectivos, se cortaban en el eje de involución.

En esta transformación las dos parejas de puntos homólogos determinaban un cuadrivértice completo, siendo el centro de involución E uno de sus puntos diagonales (D3), estando los otros dos (D1 y D2) sobre el eje de involución.

Los tres puntos diagonales determinaban un triángulo autopolar, ya que la polar de cada uno de ellos quedaba determinada por el lado opuesto que contenía a los otros dos.

Involucion

Si el punto diagonal D2 se encuentra en el infinito, la recta polar de este punto (recta E-D1) pasa por los puntos medios de las cuerdas que contienen a D2, cuerdas paralelas a A-B, A’-B’ etc, ya que la separación armónica obliga a que esta polar determine ternas con valor -1 como vimos al estudiar las direcciones conjugadas. La polar de D2 contendrá por lo tanto al centro de la cónica.

Involucion_punto_impropio

Si desplazamos en centro de involución E al infinito, tercer punto diagonal del triángulo autopolar, el punto diagonal D1 pasa a coincidir con el centro de la cónica, ya que es el polo de la recta impropia D2-D3 o D2-E .

D1-D2 y D1-D3 serán un par de diámetros conjugados, siendo el tercer lado de este triángulo autopolar la recta del infinito.

Diametros_Polares_Conjugados

Geometría Proyectiva

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