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Geometría proyectiva : Centro de involución

C_ProyLas involuciones en series de segundo orden son de especial interés en la determinación de los elementos de una cónica.

Hemos visto cómo determinar el eje de una involución y, a partir del concepto de polar de un punto respecto de dos rectas, las posibles involuciones que se pueden definir a partir de cuatro puntos, con sus respectivos ejes de involución, obteniendo el triángulo autopolar asociado en el que encontramos las relaciones armónicas del cuadrivértice completo.

En este artículo seguiremos profundizando en estos elementos, en particular en los vértices del triángulo autopolar que determinarán lo que conocemos como “Centro de Involución”.

Recordaremos que dos haces proyectivos de rectas tienen un centro proyectivo que los vincula. Este punto lo podemos determinar mediante la intersección de dos lugares geométricos (pasarán por puntos de dos series perspectivas resultado de seccionar los haces por elementos homólogos).

Si consideramos los puntos de intersección de pares de rayos asociados (a-b’ y a’-b) obtendremos los lugares geométricos citados

Centro proyectivo de dos haces proyectivos

Si proyectamos desde dos puntos cualesquiera de una cónica dos series superpuestas que sean proyectivas, los haces resultantes son proyectivos y tendrán asociado un centro proyectivo.

En la figura hemos proyectado desde V1 y V2 los puntos A,B,X …. y A’,B’,X’ que se encuentran en involución. Los pares de rayos asociados a-x’ y a’-x determinarán un lugar geométrico en el que se encuentra el eje proyectivo de estos haces. Este lugar geométrico es la recta A-A’ que une los dos puntos homólogos. Al repetir esta operación con otro par de puntos en involución vemos que D3 será el centro proyectivo buscado y cada par de puntos homólogos en la involución estarán en una recta que pasa por este punto, que llamaremos “Centro de involución”.

Justificacion_Centro_Involucion

Si obtenemos nuevos puntos en cualquiera de las involuciones de ejes e12, e23 y e31 estudiadas, vemos que los pares de puntos homólogos estarán alineados con los vértices del triángulo autopolar, D1, D2 y D3. En cada involución los pares de puntos homólogos se encontrarán sobre rectas que contengan a su eje de involución.

Centro de involucion

Este punto nos permitirá obtener el homólogo de un punto en la involución con trazados menos laboriosos. Podemos usar por ejemplo el centro y el eje de involución en un mismo problema, destacando la forma de operar con ellos, para determinar el homólogo de un punto X.

Sea la involución de puntos A-A’ y B-B’ en la que se pretende determinar el homólogo del punto X.

Determinar_homologo_mediante_involucion

Este punto lo determinaremos mediante la intersección de dos lugares geométricos en los que debe encontrarse.

  • En la recta que se forma al proyectar X desde el centro de involución
  • En el rayo homólogo del que obtenemos al proyectar desde un punto de la cónica. El haz perspectivo con vértice en el punto homólogo del de proyección tendrá por eje perspectivo el eje de involución.

Solucion_homologo

Aunque ahorramos una única línea respecto del uso del eje de involución, los conceptos aplicados nos serán muy útiles en problemas más complejos como se verá más adelante.

Ejemplo: involución de puntos

Dada la involución se puntos A-A’, B-B’ sobre una circunferencia, determinar el homólogo del punto X

Invoucion_puntos

Determinamos el centro de involución, que se encontrará en la intersección de dos lugares geométricos: las rectas que contienen a cada par de puntos homólogos.

obtencion_centro_involucion

El homólogo del punto X se encontrará en la circunferencia y en la recta que contiene a X y al centro de involución

Obtencion_homologo_involucion

Ejemplo: Involución de rectas.

Dada la involución de rectas a-a’, b-b’, determinar las rectas homólogas de la involución que sean perpendiculares.

Este ejercicio será de utilidad para obtener posteriormente los ejes de una cónica a partir de dos parejas de diámetros conjugados.

Haces_En_Involucion_V

Podemos seccionar por una circunferencia que pase por el vértice del haz en involución, para determinar dos series de segundo orden en involución.

Series_en_Involucion_c

Podemos determinar los elementos de la involución, como el centro o el eje tal y como hemos visto al estudiar estas transformaciones. En este caso interesa determinar el centro E de la involución.

El_Centro_E_de_Involucion

Recordaremos que el concepto de ortogonalidad de rectas está asociado al de arco capaz de 90º, una semicircunferencia.

Si tomamos cualquier punto de una semicircunferencia, punto V, las rectas determinadas por este punto y los extremos x-x’ de su diámetro son ortogonales.

VX y VX’ serán homólogos en una inversión si la recta X-X’ contiene al centro E de la involución.

En consecuencia X y X’ deben estar en el diámetro de la circunferencia que contenga al centro de involución.

analisis_ortogonalidad

Por lo tanto, la solución la determinaremos al obtener este diámetro, simplemente a partir del centro de la circunferencia y el punto E. Las soluciones serán las rectas x y x’

solucion_involucion_rectas_ortogonales

Geometría Proyectiva

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