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Geometría proyectiva: Tangente desde un punto a una cónica

TangentesLa definición proyectiva de la cónica permite empezar a resolver problemas clásicos de determinación de nuevos elementos de la cónica (nuevos puntos y tangentes en ellos), así como encontrar la intersección con una recta o la tangente desde un punto exterior. Estos problemas pueden resolverse por diferentes métodos más o menos complejos conceptualmente y con trazados más o menos laboriosos.

Hemos visto cómo determinar los puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos. Veremos a continuación el problema dual.

Este problema consiste en determinar los dos posibles rectas tangentes desde un punto a una cónica definida por cinco tangentes.

Como herramienta auxiliar para la resolución utilizaremos una circunferencia como series de segundo orden.

Tangente desde punto

 

El problema vendrá determinado por cinco tangentes (t1 … t5) y un punto P. La cónica no se encontrará trazada. En el análisis se representa para servir de apoyo conceptual aunque no podremos usar la curva directamente en la resolución del problema.

Problema_5_tangentes_punto

 

Si entendemos la cónica como una curva envolvente de rectas tangentes, en particular de las rectas que proyectan pares de puntos homólogos de dos series proyectivas y que además es tangente a las bases de dichas series, podemos generar dos series con bases dos de las rectas tangentes y seccionarlas por las tres restantes para encontrar los puntos de las series.

series proyectivas

Si proyectamos desde el punto P los puntos de estas series proyectivas obtendremos dos haces superpuestos de primer orden de vértice el punto P en los que queremos determinar las tangentes a la cónica.

Haces_concentricos

Las ractas tangentes que buscamos serán los elementos dobles de los haces concéntricos, por lo que el problema se reducirá a obtener elementos dobles de dos haces superpuestos.

Para resolver este problema seccionaremos por una circunferencia que pase por el punto P, vértice de los haces. De esta forma conseguiremos series de segundo orden sobre la circunferencia que son proyectivos de los haces concéntricos.

Seccion_serie_segundo_orden

Para determinar los elementos dobles en las series de segundo orden obtendremos su eje proyectivo, siendo los puntos dobles los de corte de este eje con la base circular. En caso de haber un sólo punto doble el punto P estaría situado sobre la cónica, y si no hubiera ninguno (eje proyectivo exterior a la circunferencia) no habría tangentes al ser el punto P interior a la cónica (tangentes imaginarias).

Solucion

Geometría Proyectiva

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