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Geometría proyectiva: Direcciones conjugadas

Diametros_conjugadosLos conceptos de polaridad que hemos visto al determinar la polar de un punto respecto de una recta, que nos han permitido obtener el triángulo autopolar de una cónica al establecer tres involuciuones diferentes con cuatro puntos, nos permiten avanzar en la definición proyectiva de sus elementos notables, diámetros, centro y ejes.

Una de las primeras nociones es la de “Direcciones conjugadas”

Podemos realizar unas definiciones previas que iremos analizando paso a paso basándonos en las involuciones entre dos series superpuestas de segundo orden y las relaciones armónicas que hemos estudiado.

Asi, definimos los siguientes elementos:

  • Centro de una cónica: Es el polo de la recta impropia

  • Diámetros polares conjugados: Son las polares de dos puntos impropios conjugados.

  • Ejes de una cónica: Son los diámetros polares conjugados que son ortogonales entre sí.

Estas definiciones pueden, y son, parecer muy abstractas y no fáciles de interpretar. Veremos poco a poco los conceptos que nos permitirán su comprensión.

Separación armónica y direcciones conjugadas

Las nociones de polaridad se encuentran ligadas a la separación armónica de elementos. Decimos que A y B separan armónicamente a P y P’ si (ABPP’)=-1. Recordemos que si A y B separaban armónicamente a P y P’, estos también separan armónicamente a A y B, luego (PP’AB)=-1.

La geometría del cuadrivértice completo es de aplicación en las construcciones que nos permiten, dados tres elementos, determinar el cuarto armónico.

Seperacion_armonica

Si modificamos la posición del punto P, manteniendo las rectas a y b, el punto P’ también cambiará de posición. Supongamos que P pasa a ocupar la posición Q, la nueva polar pasará por Q’ determinando la recta q.

Variacion_cuaterna

Si continuamos alejando el punto P de las rectas a y b, en el límite, cuando P se encuentre en el infinito, el conjugado armónico P’ será el punto medio de A y B. La polar p de P respecto de a y b será su recta bisectriz ya que la cuaterna (PP’AB) se convertirá en la terna (P’AB) = -1.

Polar de un punto impropio

Diremos que las direcciones de la recta p y la dirección AB que contiene a P del infinito son direcciones conjugadas.

Geometría Proyectiva

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