PIZiadas gráficas

PIZiadas gráficas

Mi mundo es la imagen.

Geometría métrica : Arco capaz sobre un segmento

La relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central en una circunferencia permite obtener un lugar geométrico de gran importancia por sus numerosas aplicaciones en la geometría métrica; este lugar geométrico se denomina arco capaz.

angulo inscrito arco capaz

Los puntos de una circunferencia que son vértices de triángulos cuya base común es una cuerda de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice un mismo ángulo, que se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base.

Esta propiedad permite enunciar la definición del lugar geométrico denominado Arco capaz sobre un segmento.

Arco capaz de un segmento AB visto bajo un ángulo α dado es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento AB bajo el mismo ángulo α.

Construcción del arco capaz

El punto P observa al segmento AB (cuerda de la circunferencia) bajo un determinado ángulo (alfa). Al desplazarse sobre dicha circunferencia el ángulo permanece invariante.

Los segmentos PA y PB varian por tanto en longitud, pero no el ángulo que forman. Este concepto permite determinar una construcción elemental para, dado el segmento AB y el ángulo alfa, determinar el centro de la circunferencia descrita.

Si el punto P se desplaza hasta coincidir con el punto B, el segmento AP se convierte en el AB, y el segmento BP se convierte en la tangente a la circunferencia, por lo que la tangente en B forma alfa grados con el segmento AB.

La tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales

Para construir el arco capaz, o determinar la circunferencia, simplemente determinaremos su centro como intersección de la mediatriz de AB con la recta perpendicular a la tangente en B (que determinaremos previamente)

Construccion arco capaz

Construcción del arco capaz

El arco capaz de 90 grados es una semicircunferencia.

Aplicaciones del arco capaz

Además de ser usado para resolver problemas de lugares geométricos, tiene especial utilidad como herramienta para demostrar teoremas clásicos de la geometría métrica.

Aplicación a construcciones geométricas

El arco capaz de mayor interés es el de 90 grados, es decir, el del ángulo recto. Este lugar geométrico es de gran uso en la resolución de problemas básicos de tangencias y posteriormente se usará en relaciones armónicas.
Como la tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son ortogonales, podemos usar el arco capaz de 90 grados para determinar la tangente desde un punto a una circunferencia. Simplemente determinaremos un arco capaz (semicircunferencia) entre el punto desde el que queremos trazar la tangente y el centro C de la circunferencia a la que debe ser tangente la recta. El punto T de intersección será el punto de tangencia buscado.

tangente a circunferencia desde un punto

tangente a una circunferencia

Aplicación en demostraciones

Las demostraciones de teoremas en las que aparecen ángulos rectos son en las que el arco capaz de 90 grados tiene aplicación inmediata. Por ejemplo, un teorema clásico es:

El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico.

El ortocentro es el punto de intersección de las alturas del triángulo ABC, rectas que pasan por un vértice y por el pie de la perpendicular al lado opuesto (H). Este punto se encuentra por tanto en la intersección de dos arcos capaces.

El triángulo órtico es el que pasa por los pies de las alturas, y su incentro es el punto de intersección de las bisectrices.

A partir de la figura se puede deducir el teorema anterior, simplemente demostrando que los ángulos marcados son iguales al estar en arcos capaces sobre un mismo segmento en las diferentes circunferencias que se muestran.

Ortocentro_Incentro

Demostración de un teorema gráficamente

Ejercicios

1-.Determinar un punto P en el interior del triángulo dado, desde el cual se vean sus tres lados bajo el mismo ángulo. (Problema)

triangulo

triangulo

2-.Dado un punto P y una recta r, situados a una distancia de 38mm, dibujar un ángulo de 45º con vértice en P que intercepte en r un segmento de 30mm. De forma genérica situar dos rectas que pasen por P formando un ángulo alfa, que intersecte a la recta R según un segmento de longitud L. (Problema)

ejemplo_arco_capaz


3.- Construir un triángulo conocido un lado , su ángulo opuesto y una tercera condición.

Datos (Lado c, a, Ángulo A).

Incógnita (Construir triángulo ABC)

construir_triangulo_1


4.- Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y una segunda condición
Datos (Hipotenusa a, ángulo C).
Incógnita (Construir triángulo rectángulo ABC)

construir_triangulo_2
Geometría métrica

Related Posts

  • Geometría métrica : Ángulos en la circunferencia : Central e inscritoGeometría métrica : Ángulos en la circunferencia : Central e inscrito En geometría métrica hay dos conceptos de medida sobre los que se basa su modelo axiomático: medidas lineales y medidas angulares. La medida lineal se apoya en el teorema de Pitágoras y la relación entre este tipo de medidas en el de Thales. La medida angular la expresamos a partir de […]
  • Geometría métrica : Inversión : Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angularesGeometría métrica : Inversión : Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angulares La inversión es una transformación que permite resolver problemas con condiciones angulares. Su aplicación puede ser directa o servir para reducir los problemas tratados a otros más sencillos de naturaleza conocida. Los diferentes enfoques con los que podemos tratar un problema serán […]
  • Geometría métrica : Obtención del Eje radical de dos circunferenciasGeometría métrica : Obtención del Eje radical de dos circunferencias El eje radical de dos circunferencias es ellugar geométrico de los puntos de un plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias. Es una recta que tiene dirección perpendicular a la línea de centros de las circunferencias. Para determinar dicho eje será necesario por lo […]
  • Geometría métrica : Eje radical de dos circunferenciasGeometría métrica : Eje radical de dos circunferencias Los lugares geométricos sirven para determinar la solución de problemas con restricciones geométricos. Entre las condiciones más utilizadas se encuentran las de naturaleza angular y dentro de éstas las de ortogonalidad. Dadas dos circunferencias, el conjunto simplemente infinito de […]
  • Sistema Diédrico: Verdadera magnitud de la rectaSistema Diédrico: Verdadera magnitud de la recta Al proyectar una recta ortogonalmente sobre un plano de proyección, su proyección, en general, es más pequeña que la medida original. Dada una recta (segmento limitado por dos puntos) queremos determinar su verdadera magnitud así como el ángulo que forma con los planos de proyección.
  • generalizacion concepto potenciaGeometría métrica : Generalización del concepto de “Potencia” El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia. Estos valores de la distancia se dan en la cuerda que contiene al centro de la circunferencia y al punto, es decir, en […]