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Geometría proyectiva: Obtención del centro de la cónica

Al estudiar los conceptos de direcciones conjugadas vimos una definición para el centro de la cónica basada en los conceptos de polaridad básicos:

El centro de la cónica es el polo de la recta impropia.

Para obtener el centro de la cónica será necesario disponer de polos y polares respecto de la misma. En particular las construcciones se simplifican si conocemos tangentes y puntos de contacto. Veremos que es especialmente inmediato si se conocen tres tangentes y sus respectivos puntos de contacto, obtenidos a partir de la definición de la cónica mediante 5 datos y la aplicación de las técnicas expuestas para determinar tangentes y puntos de tangencia:

Consideraremos por lo tanto que se dispone de tres tangentes y sus respectivos puntos de contacto, determinados a partir de los procedimientos anteriores.

Polaridad

Si consideramos la involución entre series superpuestas de segundo orden con pares homólogos A-A’ y B-B’, el punto E es el centro de involución y la recta e el eje de involución. La recta “e” es la polar del punto “E” respecto de las rectas “r” y “s”.

Los puntos “T1” y “T2” son dobles en esta involución y por ello, las rectas tangentes a la cónica en ellos pasarán por el centro “E” de la involución. Por lo tanto:

La polar “e” de un punto “E” pasa por los puntos de tangencia “T1” y “T2” de las tangentes a la cónica desde “E“, ya que es el eje de la involución de centro E.

En esta figura podemos ver que la polar del punto “E1” es la recta “e1“. Bastaría suponer que E1 es el centro de una involución que transforma el punto A en el B y el punto A‘ en el B‘, por lo que es armónica la cuaterna (E1 E2 T1 T2)

A partir de esta cuaterna armónica podemos concluir propiedades interesantes para determinar el centro de la cónica. Si E1 es un punto impropio el punto E2 deberá de ser el punto medio entre T1 y T2 . En consecuencia la recta E-E2, polar de E1, deberá contener al centro de la cónica

En el caso en que el punto “E” sea impropio (en el infinito), las tangentes desde este punto serán paralelas y la recta “e” se convertirá en un diámetro de la cónica pasando por el centro de la misma.

Lugar geométrico del centro de la cónica

La obtención del centro se realizará mediante la intersección de dos lugares geométricos obtenidos a partir del mismo principio. Analizaremos este lugar geométrico para el que necesitamos dos tangentes y sus puntos de tangencia.

Para determinar el lugar geométrico buscado buscaremos el punto medio entre dos puntos de tangencia, ya que esta recta es la polar del punto I de intersección de las tangentes en dichos puntos. Como hemos visto, la recta que pasa por este punto medio y el de intersección de las tangentes contiene al centro de la cónica.

El centro se obtendrá como intersección de dos lugares geométricos, repitiendo el proceso anterior para otra pareja de puntos de tangencia.

Geometría Proyectiva

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