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Geometría proyectiva: Aplicación de las series superpuestas de segundo orden

conicas superpuestasLos conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar las series superpuestas de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de tangentes en puntos de una cónica definida mediante cinco puntos o cinco restricciones mediante la combinación de puntos y tangentes con sus respectivos puntos de tangencia.

Para resolver esta tipología de problemas recordaremos que dadas dos series de segundo orden, al proyectarlas desde dos elementos homólogos se obtienen haces perspectivos que se cortan en el eje proyectivo de las series (Recta de Pascal). En la siguiente figura, los rayos homólogos a-a’ determinan el rayo doble de los haces perspectivos, mientras que los b-b’ y c-c’ se cortan en los puntos 1 y 2 de su eje perspectivo respectivamente (“e” es el eje proyectivo de las series antes citado)

Recta de Pascal

Modelo general para la Recta de Pascal

Los puntos homólogos que sirven de vértices para estos haces perspectivos pueden ser cualquiera de los tres pares que definen la proyectividad entre las series de segundo orden. Vemos que si proyectamos desde todos ellos obtenemos tres puntos (1,2 y 3) de paso de la recta de Pascal, que cortará a la cónica en los puntos dobles de las series (que serán imaginarios si esta recta es exterior a la cónica).

Recta de Pascal generalizada

Modelo general para la Recta de Pascal

Recta de Pascal con una tangente

El modelo proyectivo expuesto permite relacionar los puntos de la cónica con sus tangentes, pensando que una tangente es una cuerda de la cónica cuyos extremos coinciden. Por ejemplo, si movemos el punto “C’” de la figura anterior hasta coincidir con el punto “B” manteniendo las restricciones geométricas de esta figura, tendremos que B-C’ se ha convertido en una tangente que seguirá conteniendo al punto “3” del eje proyectivo.

tangente con series de segundo orden

Recta de Pascal con una tangente

Recta de Pascal con dos tangentes

Haciendo coincidir a un segundo par de puntos como el A-B’ obtendremos una variante del modelo anterior pero en este caso con dos tangentes.

dos tangentes con recta de Pascal

Recta de Pascal con dos tangentes

Recta de Pascal con tres tangentes

Si hacemos coincidir los dos puntos que quedan libres, C-A’, tendremos la tercera tangente.

tres tangentes recta pascal

Recta de Pascal con tres tangentes

Enunciado de problemas

Estas figuras nos permitirán plantear problemas de determinación de tangentes en los puntos de la cónica como se verá en un par de ejemplos, dejando al lector la resolución de los restantes.

Los problemas que se pueden plantear, entendiendo la cónica como conjunto de puntos, son:

  1. Dados cinco puntos de una cónica, determinar la tangente en uno de ellos.
  2. Dada una tangente con su punto de contacto y tres puntos adicionales de una cónica, determinar la tangente en otro de los puntos.
  3. Dadas dos tangentes con sus respectivos puntos de contacto y un punto adicional, determinar la tangente en dicho punto.

Aplicación a la resolución de problemas

Resolveremos como ejemplo el primero de los problemas planteados:

Dados los puntos P, Q, R, S y T pertenecientes a una cónica, determinar la tangente en el punto “T“.

 

conica por cinco puntos

 

1.-Determinación de la figura de análisis de aplicación

Utilizaremos como figura de análisis para resolver el problema la que hemos etiquetado como “Recta de Pascal con una tangente”, ya que en esta variante del “Modelo General” disponemos de una tangente.

tangente con series de segundo orden

2.- Asignación de las correspondientes etiquetas

Primero procederemos a identificar los puntos del enunciado del problema con los de la figura de análisis, teniendo en cuenta que, en este caso, deberemos asignar un punto de cada serie de segundo orden al punto “T” en el que queremos encontrar la tangente.

asignacion de puntos

3.- Determinación de la proyectividad

Una vez determinados los elementos de las series, obtendremos el eje proyectivo de las mismas (Recta de Pascal).

determinacion recta pascal

4.- Resolución del problema

Por último determinaremos la tangente sabiendo que ésta, rayo B-C’, se cortará en el eje proyectivo con su rayo homólogo C-B’

resolucion tangente

De forma análoga resolveríamos los dos casos restantes.

¿Sabrías resolverlos?

Geometría Proyectiva

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