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Geometría proyectiva: Construcción dinámica de una cuaterna de puntos [Geogebra]

cuaterna geogebraClásicamente las construcciones de geometría de los libros muestran una imagen o dibujo que debemos explorar detenidamente para determinar el origen de los datos y las construcciones derivadas de ellos.

La interpretación de la secuencia necesaria para obtener una construcción determinada supone una dificultad añadida al proceso formativo de las diferentes geometrías.

La aplicación “Geogebra” permite elaborar construcciones dinámicas en las que podemos modificar la posición de los elementos que la forman, manteniendo las restricciones geométricas de estas figuras, permitiendo mostrar los invariantes de los mismos. Esta herramienta puede ser una valiosa ayuda para nuestros estudiantes.

El profesor Juan Alonso Alriols ha colaborado en la introducción de esta herramienta en las enseñanzas de “Expresión Gráfica” en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Aernonáutica y del Espacio (ETSIAE) Universidad Politécnica de Madrid (UPM), aportando ejemplos de alto interés. Un ejemplo de su trabajo se puede ver en la “Construcción dinámica de razón doble de cuatro puntos” que acompaña esta entrada, a la que ha añadido un texto conductor para el uso en nuestras clases.

Gracias Juan por tu aportación.

Tras ver paso a paso el proceso de obtención del cuarto punto de una cuaterna conocido el valor de su razón doble, vamos a ver un ejemplo de geometría dinámica utilizando el programa Geogebra.

En el problema se proporciona el valor de la cuaterna de puntos (ABXY)=m/n del que se desconoce el punto “Y”. El ejercicio permite variar en todo momento el valor de los deslizadores de la parte superior izquierda (m y n), cuyo cociente es el valor de la razón doble buscada. Así mismo se pueden mover los puntos “A” y “B” a lo largo del eje X para dar lugar a infinitas variaciones de los datos iniciales. Pulsando los botones de avance de la parte inferior del la pantalla, se puede acceder a los pasos de la construcción:

  1. Enunciado
  2. Se hace el análisis teórico del problema. Al ser la razón doble invariante proyectivo, el valor de cuaterna será constante en las series de puntos resultantes de proyectar y seccionarlos . Así, se podrá determinar la cuaterna (A1 B1 X1 Y1)=(ABCD). Si se impone que “X1=X” y el punto “Y1″ esté en el infinito, puede desarrollarse la expresión anterior hasta llegar a (X1 A1 B1)=m/n, sea cual sea la posición que “A1” ocupe en el plano, ya que “A1” puede desplazarse con el ratón.
  3. Determinando los rayos “a” y “b” que proyectan a “A“, “A1” y “B“, “B1” respectivamente se puede determinar el centro de proyección “V“. Ya sólo queda Proyectar desde “V” el punto del Infinito “Y1” para hallar el punto “Y” buscado.

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