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Geometría proyectiva: Construcción de cuaternas de puntos

cuaternaHemos visto la definición de Cuaternas ordenadas de elementos, caracterizando a cuatro puntos de una serie rectilínea o cuatro rectas de un haz de planos mediante un valor o característica, resultado de obtener el cociente de dos ternas determinadas por dichos elementos.

Nos planteamos a continuación el problema de obtener, dados tres elementos pertenecientes a una misma forma de primera categoría, serie o haz, obtener un cuarto elemento que determine una cuaterna de valor concreto.

Resolveremos primeramente la obtención de una cuaterna de puntos, reduciendo la búsqueda de las cuaternas de rectas a la de puntos obtenidos por sección de los haces por una recta.

Cuaternas de puntos

El enunciado del problema puede ser como sigue:

Dados tres puntos de una serie rectilínea, determinar un nuevo punto de forma que la cuaterna determinada tenga un valor dado. Por ejemplo (ABXY)=2/3. En la siguiente figura vemos que hay que determinar el punto “A” de la cuaterna (ABXY).

enunciado cuaterna

Pare resolver el problema debemos recordar que la proyección de una cuaterna de puntos desde un vértice V determina una cuaterna de rectas de igual valor.

perspectividad

Si tuviéramos el punto A, veríamos que se cumple:

invariante proyectivo

El vértice V puede ser cualquier punto del plano que no pertenezca a la serie. Si este nuevo haz de rectas es seccionado por otra recta, s1 por ejemplo, determinaremos una nueva cuaterna de puntos de igual valor que la formada por las rectas, y en consecuencia también igual a la de los puntos de la serie original:

proyectividad entre series

Esta sección puede ser por cualquier recta que no contenga al vértice V.

Supongamos el caso particular en el que la recta que secciona al haz de rectas es paralela a una de las rectas, por ejemplo la recta “a”:

secciones perspectivas

En este caso, la recta base de la nueva serie corta a la recta “a” en el infinito. Las cuaternas de puntos de la figura cumplirán:

cuaternas singulares

Ya que la terna:

Terna unidad

Tiende a la unidad al estar el punto “A” en el infinito.

Vemos por lo tanto que la cuaterna (ABCD) puede reducirse a una terna muy especial si la sección es paralela a la recta “a” del haz. Esto nos permite reducir la búsqueda de una cuaterna a la de una terna.

reduce cuaterna a terna

Obtención de la cuaterna.

Una vez analizado el problema podemos establecer un método de resolución para la obtención del punto “A” de una cuaterna en la que se conocen los puntos “B”, “X” e “Y”, y el valor de la característica.

enunciado cuaterna

Sobre el punto “B” construiremos una terna con el valor de la cuaterna que queremos encontrar, de forma que obtendremos parte de los elementos que hemos visto en las figuras de análisis previas, en particular determinaremos los puntos de la nueva serie sección:

característica construccion terna

La recta “s1” sobre la que hemos construido la terna puede tener cualquier dirección.

Estas dos series serán perspectivas ya que tienen un elemento doble, el “B”, por lo que tendrán un centro perspectivo que las relaciona:

centro perspectivo

Nótese que el punto “A1” debe ser impropio (encontrarse en el infinito), por lo que la recta “a” del haz debe ser paralela a la recta “s1”. lo que nos permitirá determinar el punto “A” buscado.

solucion cuaterna

¿Sabrías generalizar esta construcción para buscar otro punto de la cuaterna? Por ejemplo el “B” o el “X”

¿Sabrías aplicar este modelo para determinar cuaternas de rectas en lugar de cuaternas de puntos?

En un nuevo artículo veremos esta generalización.

Geometría Proyectiva

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