PIZiadas gráficas

PIZiadas gráficas

Mi mundo es la imagen.

Geometría proyectiva: Haces superpuestos de segundo orden

haces segundo ordenHemos visto la generación proyectiva de la cónica desde dos enfoques duales:

Cónica puntual: La cónica queda determinada por los infinitos puntos de intersección de dos haces proyectivos

Cónica tangencial: La cónica queda determinada por las infinitas rectas que proyectan elementos homólogos de dos series proyectivas.

Para estudiar la cónica tangencial, y en particular las proyectividades entre haces de segundo orden superpuestos sobre una misma curva, podemos apoyarnos en el estudio dual del realizado con las series superpuestas de segundo orden.

El procedimiento de trabajo con estos haces es análogo al que vimos al obtener elementos homólogos en las proyectividades entre dos haces de primer orden, en las que determinábamos formas perspectivas intermedias (series de puntos) determinando su centro perspectivo que denominábamos “centro proyectivo de los haces“.

La proyectividad entre dos haces superpuestos de segundo orden quedará determinada cuando conozcamos tres parejas de tangentes homólogas sobre una misma cónica. (a-a’, b-b’, c-c’)

Hay que recordar que una cónica quedará determinada mediante cinco condiciones (puntos o rectas tangentes). Como comentario adicional, recordaremos que una recta queda determinada por dos de sus puntos, pero si queremos definir una proyectividad entre series superpuestas necesitaremos relacionar tres pares de puntos que pertenezcan a dicha recta.

En la figura, la proyectividad queda definida por las parejas de rectas homólogas a-a’, b-b’ y c-c’.

proyectividad entre haces de segundo orden

 

Si seccionamos por dos rectas homólogas (por ejemplo a y a’) los elementos de cada haz se obtienen series perspectivas ya que tienen un punto doble (A-A’). Estas series se proyectarán desde su centro perspectivo que será el “centro proyectivo de los haces de segundo orden”. Este punto, V en la figura, se conoce con el sobrenombre de “Punto de Brianchon

Punto de Brianchon

Para determinar el elemento homólogo de una recta x cualquiera operaremos igual que con los haces de primer orden. Seccionaremos la recta x por un elemento (el a’) para obtener el punto X asociado en las series perspectivas anteriores. El punto de la serie homóloga, X’, se encontrará alineado con el centro perspectivo de las series (centro proyectivo de los haces) y contendrá a la recta x’ homóloga de x.

homologos_segundo_orden

Las tangentes desde el centro proyectivo, si existen, determinarán los elementos dobles de los haces superpuestos de segundo orden. Para comprobarlo, obtendremos el homólogo de estos rayos considerándolos pertenecientes a cualquiera de los haces, tal y como hemos realizado con el rayo x anteriormente transformado. Se deja al lector la comprobación.

Hay que destacar que en este análisis se ha representado la cónica para mejorar la comprensión de los conceptos. Como la cónica no la tendremos en general, la obtención del elemento x’ homólogo del x deberá realizarse mediante la obtención de dos puntos, repitiendo el procedimiento de sección por una nueva tangente.

Geometría Proyectiva

Related Posts