Geometría proyectiva: Determinación de elementos homólogos en haces proyectivos

Uno de los primeros problemas que debemos aprender a resolver en geometría proyectiva es la determinación de elementos homólogos, tanto en series como en haces y en cualquier disposición de sus bases, superpuestas o separadas.

Para continuar el estudio de la metodología a emplear usaremos el modelo dual al basado en elementos “puntos”, es decir con rectas, suponiendo además que las bases de los correspondientes haces a relacionar se encuentran separados.

Nos plantearemos por lo tanto la determinación de elementos homólogos en dos haces proyectivos que no tienen elementos en común. El enunciado del problema, de forma general, puede ser:

Dados dos haces proyectivos definidos mediante tres parejas de elementos (rectas) homólogos, determinar el homólogo de un rayo dado.

El rayo dato puede pertenecer a cualquiera de los haces y el que buscamos pertenecerá en consecuencia a la base del otro.

Este problema lo resolveremos mediante el uso de perspectividades intermedias que estableceremos entre los dos haces proyectivos, obteniendo para ello el centro proyectivo de los dos haces (punto Cp). Tal y como vimos, el centro proyectivo de los haces es el centro perspectivo de las series que obtenemos al seccionar los rayos de un haz por un elemento cualquiera del otra, y seccionar simultáneamente sus homólogos desde el homólogo del elemento geométrico usado como base en la primera sección.

Eje proyectivo de dos series (Eje perspectivo de los haces)

Centro proyectivo de dos haces (Centro perspectivo de las series)

Deberemos determinar en cualquier caso, por lo tanto, el centro proyectivo de dos haces.

Obtención del centro proyectivo de dos haces:

Los diferentes casos que pueden darse vendrán determinados por los datos que definan los haces proyectivos, pudiendo ser en principio:

Pares de rayos homólogos ordinarios (3 máximos)
Homólogos de los rayos comunes a las bases ( 2 máximo)
Lugar geométrico en el que se encuentra el eje proyectivo

Podemos combinar estos datos para determinar un problema concreto, siempre que aportemos el número necesario de ellos. El problema quedará determinado cuando conozcamos tres parejas de elementos homólogos o datos equivalentes. Resolveremos por lo tanto este primer caso:

Dados tres rectas (rayos) de un haz y sus homólogos, determinar el centro proyectivo de dichos haces

Los datos son las rectas a, b y c (rayos del haz de vértice V) así como sus correspondientes rayos homólogos a’, b’ y c’. El rayo común a las bases m=n’ contendrá una recta de cada uno de los haces.

Para determinar el centro proyectivo necesitaremos un par de rectas que lo contengan. Estas las podemos determinar como proyección de dos puntos homólogos de dos series perspectivas de bases un par de rayos homólogos.

Lugar geométrico del centro proyectivo

El lugar geométrico obtenido puede ser considerado como un rayo de proyección de dos puntos homólogos de las series que se obtienen al seccionar por b y b’ los rayos c y c’, pero también podemos entender que las bases de las series son c y c’ y los rayos seccionados b y b’.

El centro ha quedado determinado por la intersección del lugar geométrico que hemos encontrado antes y por otro que se ha obtenido de forma similar al anterior, al relacionar los rayos a y b con sus homólogos a’ y b’, obteniéndose los puntos A y A’ de las series perspectivas.

Los homólogos de los rayos que contienen a las bases son las rectas que proyectan el centro proyectivo desde cada una de las bases (Vértices de los haces). Estos elementos pueden obtenerse al igual que el homólogo de cualquier rayo x o y’ desconocidos.

Obtención de elementos homólogos

Utilizando el centro proyectivo es fácil determinar el homólogo de cualquier rayo; como ejemplo obtendremos el homólogo de un punto X.

Para simplificar la figura nos quedaremos con un elemento a y su homólogo a´y el centro proyectivo de los haces.

Si seccionamos por a’ la recta x, el punto generado (A’) y su homólogo (de la serie de base a) se encontrarán alineados con el centro proyectivo. El punto homólogo (A) contendrá al elemento (x’) buscado.