Geometría proyectiva: Aplicación de los haces superpuestos de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar los haces superpuestos de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de puntos de tangencia en las tangentes de una cónica definida mediante cinco tangentes o cinco restricciones mediante la combinación de tangentes y puntos con sus respectivas tangentes.

Para resolver esta tipología de problemas recordaremos que dados dos haces de segundo orden, al seccionarlos desde dos elementos homólogos se obtienen series perspectivas que se proyectan desde el centro proyectivo de los haces (Punto de Brianchon). En la siguiente figura, los puntos homólogos A-A’ determinan el punto doble de las series perspectivas, mientras que los AB’-A’B y AC’-A’C proyectan las rectas 1 y 2 que contienen a su centro perspectivo respectivamente (“V” es el centro proyectivo de los haces de segundo orden citados anteriormente)

Modelo general para el Punto de Brianchon

Los rayos homólogos que sirven de bases para estas series perspectivas pueden ser cualquiera de los tres pares que definen la proyectividad entre los haces de segundo orden. Vemos que si seccionamos desde todos ellos obtenemos tres rectas (1,2 y 3) que contienen al Punto de Brianchon, desde el que se podrán trazar las rectas dobles (tangentes si las hay) de los haces (que serán imaginarias si este punto es interior a la cónica).

Centro de Brianchon con un punto de tangencia

El modelo proyectivo expuesto permite relacionar las tangentes de la cónica con sus puntos de tangencia, pensando que un punto de tangencia es el de intersección de dos tangentes infinitamente próximas.

Por ejemplo, si movemos la recta tangente “c” de la figura anterior hasta coincidir con la recta “b'” manteniendo las restricciones geométricas de esta figura, tendremos que B-C’ se ha convertido en un punto de tangencia que seguirá perteneciendo a la recta “3” que pasa por el centro proyectivo “V”.

Punto Brianchon con un punto de tangencia

Punto de Brianchon con dos puntos de tangencia

Haciendo coincidir a un segundo par de tangentes como b-c’ (también podría ser a-c’ o a’-c) obtendremos una variante del modelo anterior pero en este caso con dos puntos de tangencia.

Punto de Brianchon con dos puntos de tangencia

Punto de Brianchon con tres puntos de tangencia

Si hacemos coincidir dos a dos las tres tangentes, por ejemplo a-c’, b-a’ y c-b’, tendremos tres puntos de tangentes en esta variante del modelo general. Se pueden utilizar otras combinaciones de las tangentes, pero siempre deberemos usar en cada pareja una de cada uno de los haces y en ningún caso dos homólogas (como a-a’, b-b’ o c-c’).

Punto de Brianchon con tres puntos de tangencia

Enunciado de problemas

Estas figuras nos permitirán plantear problemas de determinación de puntos de contacto en las tangentes que determinan la cónica como se verá en un ejemplo, dejando al lector la resolución de los restantes.

Los problemas que se pueden plantear, entendiendo la cónica como envolvente de las tangentes, son:

Dadas cinco tangentes de una cónica, determinar el punto de tangencia en una de ellas.
Dada una tangente con su punto de contacto y tres tangentes adicionales de una cónica, determinar el punto de contacto en otra de las tangentes.
Dadas dos tangentes con sus respectivos puntos de contacto y una tangente adicional, determinar el punto de contacto esta tangente.

Aplicación a la resolución de problemas

Resolveremos como ejemplo el primero de los problemas planteados:

Dadas las rectas p, q, r, s y t tangentes a una cónica, determinar el punto “T” de contacto en la recta “t“.

1.-Determinación de la figura de análisis de aplicación

Utilizaremos como figura de análisis para resolver el problema la que hemos etiquetado como “Punto de Brianchon con un punto de tangencia”, ya que en esta variante del “Modelo General” disponemos de un punto de contacto en una de las tangentes.

2.- Asignación de las correspondientes etiquetas

Primero procederemos a identificar las rectas del enunciado del problema con las tangentes a la cónica de la figura de análisis, teniendo en cuenta que, en este caso, deberemos asignar una recta de cada haz de segundo orden a la recta “t” en la que queremos encontrar el punto de contacto.

3.- Determinación de la proyectividad

Una vez determinados los elementos de los haces, obtendremos el centro proyectivo de los mismos (Punto de Brianchon).

4.- Resolución del problema

Por último determinaremos el punto de tangencia sabiendo que éste, punto B’C, se proyectará desde el centro proyectivo con su punto homólogo BC’

De forma análoga resolveríamos los dos casos restantes.

¿Sabrías resolverlos?