PIZiadas gráficas

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Inversión: Tabla de gimnasia mental para transformación de elementos

Una tabla de gimnasia consiste en una serie de ejercicios físicos estructurados que sirven para el desarrollo y mantenimiento del cuerpo. En el colegio, en las asignaturas de educación física (Gimnasia) hemos realizado alguna de estas tablas de repeticiones de ejercicios. A base de repetir, automatizábamos determinados movimientos y desarrollábamos músculo.

¿Qué es una tabla de gimnasia mental? Pues básicamente lo mismo, un conjunto de ejercicios que sirven para estimular el razonamiento, desarrollar y mantener la mente ágil, automatizar procesos de cálculo y análisis etc.

En las asignaturas de geometría podemos proponer un problema y hacer ligeras variaciones sobre alguno de los datos. La variabilidad de un problema permitirá crear famílias de ejercicios en los que destacaremos uno o varios conceptos de interés.

Como ejemplo, supongamos que queremos trabajar en detalle la “Inversión”. En particular ver la influencia de la posición del centro de inversión respecto de los elementos a invertir analizando los casos en los que éstos pueden convertirse en ellos mismos, es decir, son elementos dobles.

Los elementos que necesitaremos son los clásicos que se estudian en la transformación de formas planas mediante inversión:

  • Rectas que pasan por el centro de inversión (se transforman en ellas mismas)
  • Rectas que no pasan por el centro de inversión (se transforman en circunferencias que si pasan)
  • Circunferencias que pasan por el centro de inversión (se transforman en rectas que no pasan)
  • Circunferencias que no pasan por el centro de inversión (del se transforman en circunferencias que no pasan tampoco)
  • Circunferencias cuya potencia respecto del centro de inversión coincide con la potencia de inversión (son dobles)

Usaremos dos circunferencias, c1 y c2, y una recta, r, para proponer el ejercicio. Modificaremos la posición del centro de inversión, I, y determinaremos la potencia de inversión definiendo un punto doble, P=P´, que también cambiaremos de posición.

Caso 1

El centro se encuentra sobre una de las circunferencias y el punto doble en la intersección de la recta con la otra circunferencia, siendo además el punto de tangentes de la tangente trazada desde el centro de inversión a C1.

Caso 2

El centro de inversión se sitúa en la intersección entre la recta y una de las circunferencias y el punto doble sobre el punto de tangentes de la tangente desde el centro de inversión a la otra circunferencia.

Caso 3

El centro de inversión se sitúa sobre el punto de tangentes entre las dos circunferencias, siendo el punto doble el de intersección entre la recta y la circunferencia.

Caso 4

El centro de inversión se sitúa en el centro de honmotecia entre las dos circunferencias. El punto doble se mantiene en la intersección de la recta y la circunferencia.

Caso 5

El centro de inversión se mantiene en el centro de homotecia de las dos circunferencias y el punto doble se traslada al punto de tangentes de las circunferencias.

Caso 6

El centro de inversión se sitúa en el “eje radical de las dos circunferencias”, siendo doble el punto de tangencia de las circunferencias.

 

A continuación puedes ver un fichero PDF con la propuesta de ejercicios anterior.

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Veremos nuevas “tablas de gimnasia mental para geometría” en próximas entradas.

Geometría métrica

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