Geometría métrica : Eje radical de dos circunferencias

Los lugares geométricos sirven para determinar la solución de problemas con restricciones geométricos.

Entre las condiciones más utilizadas se encuentran las de naturaleza angular y dentro de éstas las de ortogonalidad.

Dadas dos circunferencias coplanarias, el conjunto simplemente infinito de circunferencias que las cortan ortogonalmente se agrupan en un conjunto denominado haz de circunferencias corradicales; estas circunferencias tienen su centro en una recta denominada eje radical.

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano

• que son centros de circunferencias ortogonales a dichas circunferencias
• que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias
• desde los cuales se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias

Para determinar este lugar geométrico, eje radical, nos apoyaremos en una figura de análisis compuesta por dos circunferencias que son cortadas ortogonalmente por la buscada.

Vemos en los triángulos rectángulos que se cumple, aplicando pitágoras, las siguientes relaciones:

de donde podemos obtener

que como hemos visto al estudiar el lugar geométrico de la diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos, es una recta. Esta recta se denomina eje radical de las dos circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias

Vemos que al imponer dos restricciones de ortogonalidad se determina un lugar geométrico para los centros de las soluciones que lo cumplen. Si introducimos una tercera condición obtendremos una solución única que podemos obtener mediante intersección de los lugares geométricos referidos.

El Centro radical CR de tres circunferencias coplanarias es un punto de su plano:

Centro radical de tres circunferencias

Geometría Métrica