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Geometría métrica : Obtención del Eje radical de dos circunferencias

eje radical de dos circunferenciasEl eje radical de dos circunferencias es ellugar geométrico de los puntos de un plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

Es una recta que tiene dirección perpendicular a la línea de centros de las circunferencias. Para determinar dicho eje será necesario por lo tanto conocer un único punto de paso.

Veremos cómo determinar el eje radical de dos circunferencias en los diferentes casos que podemos encontrarnos, que analizaremos en función de las posiciones relativas de las dos circunferencias.

Circunferencias secantes

Si las circunferencias son secantes conoceremos dos puntos de potencia nula, los de intersección de ambas circunferencias.

eje_radical_haz_eliptico

En este caso el eje radical lo obtendremos mediante la secante común a dichas circunferencias

Circunferencias tangentes

Al igual que en el caso anterior, existe un punto de potencia nula que se corresponde con el de tangencia de las dos circunferencias.

eje radica haz parabolico

 

El eje radical pasará por este punto y tendrá la dirección perpendicular a la línea de centros y por lo tanto coincidirá con la recta tangente común a ambas circunferencias.

Circunferencias que no se cortan

Como conocemos la dirección del eje, quedará determinado en cuanto obtengamos un punto de paso.

eje_radical_haz_hiperbolico

Este punto lo determinaremos mediante el uso de una circunferencia auxiliar que corte a las dos circunferencias, que nos permitirá obtener el centro radical de las tres (punto de igual potencia)

Como caso particular de interés, podemos ver el caso en que las circunferencias sean de gran radio.

eje_radical

En este caso se calcula como en el anterior, por medio de una circunferencia auxiliar (en línea discontinua en la figura) que determina un punto “O” de igual potencia respecto de las dos circunferencias, ya que:

OA * OA’ = OB*OB’

Este punto junto con el de intersección de las dos circunferencias, si lo hubiera, determinaría el eje. En otro caso, podríamos repetir esta construcción para determinar un segundo punto de paso.

También puede ser interesante generalizar estos conceptos en el caso de circunferencias de radio nulo (puntos) o infinito (rectas) y en otras posiciones particulares:

  • ¿Eje radical de dos circunferencias concéntricas?
  • ¿Eje radical de punto y circunferencia?
  • ¿Eje radical de punto y recta?
  • ¿Eje radical de dos puntos?

Geometría Métrica

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