PIZiadas gráficas

PIZiadas gráficas

Mi mundo es la imagen.

Geometría métrica : Haces de circunferencias corradicales

Determinacion_eje_radicalAl estudiar la ecuación de una circunferencia en el plano. vimos que la determinación de una concreta se realizaba determinando tres parámetros que a su vez definen las coordenadas de su centro y radio.

Podemos decir por lo tanto que en el plano hay un conjunto triplemente infinito de circunferencias, por lo que si fijamos dos restricciones, o parámetros, nos quedará un conjunto simplemente infinito que denominaremos “haz de circunferencias

Un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de ellas.

Ecuación de la circunferencia

Nos interesan las famílias de circunferencias que comparten un mismo eje radical, y tienen sus centros sobre una recta (denominada base del haz). A este conjunto le denominaremos “haz de circunferencias corradical”.

Centro_haz

El punto O de intersección entre la recta base y el eje radical se denomina centro del haz.

Un haz de circunferencias corradicales es un conjunto simplemente infinito de circunferencias con eje radical común (y centros alineados en una recta base).

Recíprocamente, dada una circunferencia c y una recta e coplanaria con ella, se pueden hallar todas las circunferencias (haz) que tienen, con la primera, a la recta e por eje radical.

Clasificación de los haces corradicales

Existen tres familias que pueden diferenciarse en cuanto a las intersecciones de sus miembros, o la posición del eje radical respecto de las circunferencias. La clasificación puede servir para tratar de forma homogénea estas circunferencias, adaptando las construcciones básicas a cada caso:

Haz Elíptico

Cuando la recta e, eje radical, es secante a la circunferencia el haz se denomina elíptico.

Haz_elipticoEl centro O del haz es interior a las circunferencias y por tanto su potencia es negativa. El eje radical tiene también puntos de potencia nula (intersección de las circunferencias) y de potencia positiva (exteriores a las circunferencias)

Todas las circunferencias pasan por dos puntos del eje radical denominados puntos fundamentales del haz.

La circunferencia de menor radio tiene por diámetro la distancia entre los puntos fundamentales.

Haz Parabólico

Cuando la recta e, eje radical, es tangente a la circunferencia el haz se denomina parabólico.

Haz_parabolicoEl centro O del haz es el punto de contacto entre todas las circunferencias, y su potencia es nula (k=0). El resto de puntos del eje radical tienen un valor positivo de la potencia respecto de las circunferencias del haz.

Todas las circunferencias del haz son tangentes al eje radical en el centro del haz.

La circunferencia de menor radio es un punto, radio nulo, coincidente con el centro del haz, por lo que a este punto se le denomina punto límite (O = L) .

Haz Hiperbólico

Cuando la recta e, eje radical, no corta a la circunferencia el haz se denomina hiperbólico.

Haz_hiperbolicoEl centro del haz es exterior a todas las circunferencias, por lo que su potencia es de valor positivo y no nula.Todos los puntos del eje radical tienen valores de la potencia mayores que cero.

Las circunferencias del haz hiperbólico no se cortan entre sí

Existen dos circunferencias de radio nulo que se denominan puntos límites del haz opolos” (conocidos como puntos de Poncelet), que veremos en detalle al analizar esta familia de circunferencias.

Geometría Métrica

Nota: Este tema, desarrollado durante un verano por el profesor D. Victorino González García, está dedicado a su memoria.

Related Posts

  • Geometría métrica : Inversión de haces de circunferenciasGeometría métrica : Inversión de haces de circunferencias La transformación mediante inversión de elementos agrupados en formas geométricas puede tener interés para usar la inversión como herramienta de análisis en problemas complejos. En este caso estudiaremos la transformación de los "haces de circunferencias corradicales" mediante diferentes […]
  • Las Cónicas como Lugar Geométrico de Centros de Circunferencias TangentesLas Cónicas como Lugar Geométrico de Centros de Circunferencias Tangentes Hemos visto que el estudio de las cónicas se puede realizar desde diferentes enfoques geométricos. En particular, al iniciar el análisis de las cónicas hemos definido la elipse como lugar geométrico, decíamos que: La Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma […]
  • Cónicas métricas: Circunferencia principalCónicas métricas: Circunferencia principal Hemos definido la elipse como el "lugar geométrico de centros de circunferencias que, pasando por un foco, son tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco". Esta definición nos permite abordar el estudio de la cónica mediante la aplicación de los conceptos vistos al […]
  • El problema del centro de giro Un giro en el plano está determinado por su centro (de giro) y el ángulo girado. Esto es equivalente a definir tres datos simples, dos para el centro (coordenadas "x" e "y") y uno para el valor del ángulo expresado en grados en cualquiera de los tres sistemas de unidades que usamos, […]
  • Cónica definida por sus dos focos y un puntoCónica definida por sus dos focos y un punto Uno de los primeros problemas que podemos resolver basándonos en la definición de cónica como "lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasando por un punto fijo (foco) son tangentes a una circunferencia (circunferencia focal de centro el otro foco)" es el de determinación […]
  • Geometría proyectiva: Obtención de los ejes de una cónica a partir de dos parejas de Diámetros Polares ConjugadosGeometría proyectiva: Obtención de los ejes de una cónica a partir de dos parejas de Diámetros Polares Conjugados Los ejes de una cónica son aquellos diámetros polares conjugados que son ortogonales entre si. Recordaremos que dos diámetros polares conjugados, que pasarán necesariamente por el centro O de la cónica, son las polares de dos puntos impropios (situados en el infinito) que sean […]