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Geometría métrica : Haces de circunferencias corradicales

Determinacion_eje_radicalAl estudiar la ecuación de una circunferencia en el plano. vimos que la determinación de una concreta se realizaba determinando tres parámetros que a su vez definen las coordenadas de su centro y radio.

Podemos decir por lo tanto que en el plano hay un conjunto triplemente infinito de circunferencias, por lo que si fijamos dos restricciones, o parámetros, nos quedará un conjunto simplemente infinito que denominaremos “haz de circunferencias

Un haz de circunferencias es un conjunto simplemente infinito de ellas.

Ecuación de la circunferencia

Nos interesan las famílias de circunferencias que comparten un mismo eje radical, y tienen sus centros sobre una recta (denominada base del haz). A este conjunto le denominaremos “haz de circunferencias corradical”.

Centro_haz

El punto O de intersección entre la recta base y el eje radical se denomina centro del haz.

Un haz de circunferencias corradicales es un conjunto simplemente infinito de circunferencias con eje radical común (y centros alineados en una recta base).

Recíprocamente, dada una circunferencia c y una recta e coplanaria con ella, se pueden hallar todas las circunferencias (haz) que tienen, con la primera, a la recta e por eje radical.

Clasificación de los haces corradicales

Existen tres familias que pueden diferenciarse en cuanto a las intersecciones de sus miembros, o la posición del eje radical respecto de las circunferencias. La clasificación puede servir para tratar de forma homogénea estas circunferencias, adaptando las construcciones básicas a cada caso:

Haz Elíptico

Cuando la recta e, eje radical, es secante a la circunferencia el haz se denomina elíptico.

Haz_elipticoEl centro O del haz es interior a las circunferencias y por tanto su potencia es negativa. El eje radical tiene también puntos de potencia nula (intersección de las circunferencias) y de potencia positiva (exteriores a las circunferencias)

Todas las circunferencias pasan por dos puntos del eje radical denominados puntos fundamentales del haz.

La circunferencia de menor radio tiene por diámetro la distancia entre los puntos fundamentales.

Haz Parabólico

Cuando la recta e, eje radical, es tangente a la circunferencia el haz se denomina parabólico.

Haz_parabolicoEl centro O del haz es el punto de contacto entre todas las circunferencias, y su potencia es nula (k=0). El resto de puntos del eje radical tienen un valor positivo de la potencia respecto de las circunferencias del haz.

Todas las circunferencias del haz son tangentes al eje radical en el centro del haz.

La circunferencia de menor radio es un punto, radio nulo, coincidente con el centro del haz, por lo que a este punto se le denomina punto límite (O = L) .

Haz Hiperbólico

Cuando la recta e, eje radical, no corta a la circunferencia el haz se denomina hiperbólico.

Haz_hiperbolicoEl centro del haz es exterior a todas las circunferencias, por lo que su potencia es de valor positivo y no nula.Todos los puntos del eje radical tienen valores de la potencia mayores que cero.

Las circunferencias del haz hiperbólico no se cortan entre sí

Existen dos circunferencias de radio nulo que se denominan puntos límites del haz opolos” (conocidos como puntos de Poncelet), que veremos en detalle al analizar esta familia de circunferencias.

Geometría Métrica

Nota: Este tema, desarrollado durante un verano por el profesor D. Victorino González García, está dedicado a su memoria.

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