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Geometría métrica : Haz parabólico de circunferencias

Haz_parabolicoAl definir un haz de circunferencias como un conjunto simplemente infinito que cumplían una restricción basada en la potencia, clasíficábamos los haces en función de la posición relativa de sus elementos.

Los haces de circunferencias parabólicos se encuentran entre estas familias de circunferencias. Veremos cómo determinar elementos que les pertenecen.

Dadas dos circunferencias tangentes en un punto O, el eje radical “e” de las circunferencias coincide con la recta tangente común a ambas circunferencias. Esta recta es perpendicular a la que contiene los centros de las circunferencias.

Las infinitas circunferencias tangentes a dos circunferencias tangentes entre sí en un punto O, determinan un haz de circunferencias parabólico. El punto O se denomina centro del haz.

El eje radical de cualquier pareja de circunferencias de este haz es la recta e.

circunferencias_del_haz_parabolico

Todos los centros de las circunferencias del haz se encuentran en una recta, b, denominada recta base del haz.

Determinar una circunferencia del haz parabólico que pasa por un punto P

De las infinitas circunferencias de una haz parabólico, sólo una pasa por un punto dado que no sea el centro O del haz. Veamos cómo determinar el centro de una circunferencia del haz que pase por un punto P cualquiera.

Haz_parabolico_punto

La circunferencia buscada tendrá su centro O1 en la recta base, b, y pasará por los puntos P y O, por lo que también lo tendrá en la mediatriz de estos puntos.

mediatriz

La solución, su centro, se determina por lo tanto mediante la intersección de dos lugares geométricos, la recta base y la mediatriz del segmento PO que contiene a dos puntos de paso.

Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una recta dada

La condición de tangencia viene determinada por una recta t cualquiera que no coincida ni con la recta base b ni con el eje radical e.

recta_tangente_al_haz_parabolico

Para resolver el problema buscaremos un punto Cr, del eje radical e, que tenga igual potencia respecto de las circunferencias del haz, y que pertenezca, a su vez, a la recta t ya que ésta última es el eje radical de las circunferencias que le son tangentes. Vemos pues, que Cr es el centro radical de la recta t (circunferencia de radio infinito) y las circunferencias del haz parabólico.

tangente_haz_parabolico

Como se aprecia en la figura, la potencia de Cr respecto de todas las circunferencias del haz la podemos determinar encontrando la distancia (al cuadrado) al centro O del haz. Esta distancia es la que habrá también a los puntos de tangencia de las soluciones buscadas. Tenemos dos soluciones ya que podemos llevar esta distancia Cr-O a ambos lados de Cr sobre la recta t.

Determinar las circunferencias del haz parabólico que son tangentes a una circunferencia dada

La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t cualquiera.

circunferencia_tangente_haz_parabolico

En este caso, de nuevo, determinaremos un punto Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz parabólico, por lo que debe encontrarse en su eje radical.

centro_radical

Las soluciones pasarán por los puntos T1 y T2 situados sobre las tangentes trazadas desde Cr, ya que se encuentran a distancia la raíz de la potencia que hemos calculado como en el caso anterior.

soluciones_tangentes_haz_parabolico

Los centros de las soluciones se encontraran alineados con el centro de la circunferencia t y los correspondientes puntos de contacto.

Haz conjugado

Por último, podemos ver en la figura siguiente el haz conjugado (ortogonal) de un haz parabólico, que puede deducirse que es otro parabólico de recta base el eje radical del anterior.

haz_conjugado

Geometría métrica

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