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Aplicación del teorema de Pitágoras: Ecuación de la circunferencia

circunferenciaUna de las primeras aplicaciones que podemos encontrar en el teorema de Pitágoras, es su uso en la determinación de la ecuación de una circunferencia.

La relación métrica entre los dos catetos de un triángulo rectángulo son esencialmente la expresión del concepto de medida euclídeo.

Los puntos de una circunferencia se encuentran a igual distancia del centro de la misma (O).

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.(W)

Para determinar la ecuación de la circunferencia analizaremos primero el caso en que ésta se encuentre con su centro en el origen del sistema de referencia, para generalizar a continuación a cualquier posición del plano.

circunferencia_origen

La distancia de cualquier punto P(x,y) de la circunferencia a su centro O es igual a su radio R. En la figura se aprecia que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos a las coordenadas x e y del punto P. Por ello, aplicando el teorema de pitágoras:

ecuacion_circunferencia

Si desplazamos el centro de la circunferencia a un punto de coordenadas (Xo, Yo), como se aprecia en la figura:

Circunferencia_no_origen

los puntos de la circunferencia seguiran a distancia R del centro, pero en este caso los catetos del triángulo ya no serán las coordenadas, sino la diferencia entre estas y las del centro. La nueva ecuación será:

ecuacion_circunferencia_no_origen

Podemos desarrollar esta ecuación y agrupar los coeficientes y las variables de forma ordenada, con lo que tendremos:

ecuacion_desplazada

O simplificar agrupando

ecuacion_coeficientes

Siendo

coeficientes

Una aplicación directa por lo tanto de un teorema de gran importancia en la geometría.

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