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Lugar Geométrico de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos

piLos lugares geométricos permiten determinar puntos que satisfacen una determinada condición geométrica. Son de interés en la resolución de problemas en los que se imponen restricciones métricas o geométricas.

Algunos lugares geométricos son elementales y sirven para definir figuras geométricas conocidas, mientras que otros exigen elaborados procesos de determinación.

Así, por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante es una circunferencia de centro el punto referido y de radio la distancia dada.

Relaciones en el triángulo

La aplicación directa del teorema de Pitágoras nos permite obtener algunos lugares geométricos de alto interés en el desarrollo de teoremas avanzados de la geometría métrica.
relaciones en el triángulo

En la figura se tiene el triángulo ABC y se han obtenido, sobre el lado “a“, el punto medio “M” y el pie de la altura “H” al determinar su altura “h” desde el vértice “A“. Esto permite determinar tres triángulos rectángulos (un ángulo recto) que podemos relacionar entre sí para obtener dos importantes lugares geométricos.

Los triángulos a los que nos referimos son:

  • AHB
  • AHC
  • AHM

Como se aprecia en la figura, los tres triángulos comparten el lado “AH” como uno de sus catetos, y el otro cateto se encuentra en el lado “a”, base, del triángulo; Son triángulos rectángulos ya que el lado “AH” es la altura del triángulo y en consecuencia es perpendicular a dicha base.

Aplicando el teorema de pitágoras, podemos obtener las tres relaciones siguientes:

Aplicacion de pitagoras

sumando las dos primeras tendremos la suma de dos cuadrados

suma de cuadrados

mientras que si restamos una a la otra tendremos la diferencia de dos cuadrados

diferencia de cuadrados

Lugar Geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante.

Veamos cómo podemos utilizar las relaciones anteriores para determinar el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen que la diferencia de los cuadrados de su distancia a dos puntos fijos es constante. Este teorema que vamos a determinar se puede enunciar de la siguiente forma:

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos B y C es una cantidad constante k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al punto medio de BC es d=K/2BC.

Supongamos que uno de los puntos del plano que cumple esa condición es el vértice “A” del triángulo ABC, y que los puntos fijos a los que nos referimos son “B” y “C“.

lugar geometrico diferencias de cuadrados

De las relaciones anteriores podemos utilizar la que expresa la diferencia de cuadrados de distancias a los puntos “B” y “C“, e imponer la condición de que esta relación permanezca constante.
diferencia constante
Al ser fija la distancia entre los puntos “B” y “C“, el valor del lado “aes constante. Para que la igualdad que expresa la ecuación sea constante la distancia “MH” tiene que serlo también ya que “ano varía y “2” es un número que tampoco cambia.
Vemos que el segmento “MH” es la proyección de la mediana “m” (recta que une un vértice con el punto medio “M” del lado opuesto) sobre el segmento “BC
Esto implica que el punto “A” puede estar en cualquier posición del plano de forma que la proyección de la mediana sobre “BC” permanezca constante; el punto “A” tiene que moverse por lo tanto sobre la recta h”, por lo que el lugar geométrico buscado debe de ser esa recta.
Este lugar geométrico permitirá determinar el “eje radical” de dos circunferencias como se verá en el estudio de ortogonalidad.

Lugar Geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de distancias a dos puntos fijos es constante.

De la expresión obtenida para la suma de cuadrados:

suma de cuadrados

se deduce que, al ser “a” constante, para que la expresión lo sea, debe de ser el valor “m” de la mediana también un valor fijo, con lo que se concluye que el lugar geométrico debe de ser una circunferencia de radio dicho valor de la mediana.

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