PIZiadas gráficas

PIZiadas gráficas

Mi mundo es la imagen.

Problema de apolonio : ccc

Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de “problemas de Apolonio” puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: el problema fundamental de tangencias (PFT).

En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental simplificar el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad y/o diametralidad.

En este caso vamos a estudiar el que denominamos “Caso de Apolonio ccc“, es decir, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a tres circunferencias (ccc).

Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:

Determinar las circunferencias que son tangentes a tres circunferencias.

De las 8 posibles soluciones que tiene este problema en el caso más general, analizaremos el caso más sencillo representado en la siguiente figura en la que t1 y t2 son las soluciones buscadas y c1, c2 y c3 los datos de partida.

Supongamos el caso en el que las tres circunferencias dato tienen diferente diámetro y no se cortan entre sí, siendo exteriores cada una a las otras dos.

los centros de inversión positivos de dos circunferencias son los de homotecia que las relacionan. En la figura I12 es el centro de inversión entre las circunferencias C1 y C2, siendo e1 su circunferencia de autoinversión (radio la raíz de la potencia de inversión).

La circunferencias tangentes a C1 y C2 (isogonales), como las buscadas, serán dobles en esta inversión y por lo tanto serán ortogonales a e1, circunferencia de autoinversión.

Las tres circunferencias de autoinversión se encuentran en un haz elíptico de circunferencias, por lo que las circunferencias dobles en las inversiones descritas deberán ser ortogonales a estas circunferencias de autoinversión y por lo tanto pertenecer al haz conjugado, en este caso un haz hiperbólico de circunferencias.

Las circunferencias buscadas tendrán por lo tanto su centro en el eje radical del haz elíptico formado por las circunferencias de autoinversión, y tendrán por eje radical la recta base del haz anterior.

Deberemos encontrar por lo tanto una circunferencia del haz hiperbólico de puntos límites L1 y L2, puntos fundamentales del haz elíptico, que sea tangente a cualquiera de las circunferencias dato. Por ejemplo C1.

Hemos reducido el problema a la determinación de una circunferencia de un haz que sea tangente a otra circunferencia: Generalización del Problema Fundamental de Tangencias.

Para resolver el problema determinaremos el Centro Radical, CR, de las circunferencias del haz al que pertenece la solución y de la circunferencia que establece la condición de tangencia.

Los puntos de tangencia los obtendremos determinando la potencia de dicho centro respecto de la circunferencia dato o, lo que es lo mismo, obteniendo la circunferencia de centro el centro radical que es ortogonal a la circunferencia dato . Los puntos T1 y T2 son los de corte entre estas circunferencias.

Los centros de las soluciones se encontrarán en la recta base del haz hiperbólico al que pertenecen las soluciones y alineados con los puntos de tangencia y el centro de la circunferencia dato (ya que dos circunferencias tangentes tienen alineados sus centros y el punto de tangencia).

 

La solución puede comprobarse que es tangente a las tres circunferencias dato.

 

Geometría métrica

 

 

Related Posts

  • Apolonio y sus diez problemasApolonio y sus diez problemas Uno de los artículos más completos que han escrito mis alumnos en las clases de geometría es el que describe la forma de solucionar los denominados "problemas de Apolonio". La determinación de circunferencias o rectas que vengan definidas mediante restricciones geométricas basadas en […]
  • Geometría métrica : Problema de apolonio : rccGeometría métrica : Problema de apolonio : rcc Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de "problemas de Apolonio" puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: el problema fundamental de tangencias (PFT). En todos estos problemas nos plantearemos como […]
  • Geometría métrica : Inversión : Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angularesGeometría métrica : Inversión : Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angulares La inversión es una transformación que permite resolver problemas con condiciones angulares. Su aplicación puede ser directa o servir para reducir los problemas tratados a otros más sencillos de naturaleza conocida. Los diferentes enfoques con los que podemos tratar un problema serán […]
  • Geometría métrica : Generalización del problema fundamental de tangencias : Geometría métrica : Generalización del problema fundamental de tangencias : Hemos resuelto el que hemos denominado problema fundamental de tangencias cuando se presenta con condiciones de tangencia respecto de una circunferencia o de una recta. Conceptualmente podemos suponer que ambos problemas son el mismo, si consideramos a la recta como una circunferencia de […]
  • El problema del campo de fútbolEl problema del campo de fútbol Un curioso problema, que suelo proponer en clase a mis alumnos, en el que podemos utilizar los conocimientos geométricos aprendidos al estudiar el concepto de potencia, es el de determinar la posición óptima de disparo a una portería de fútbol desde una trayectoria dada.
  • Las Cónicas como Lugar Geométrico de Centros de Circunferencias TangentesLas Cónicas como Lugar Geométrico de Centros de Circunferencias Tangentes Hemos visto que el estudio de las cónicas se puede realizar desde diferentes enfoques geométricos. En particular, al iniciar el análisis de las cónicas hemos definido la elipse como lugar geométrico, decíamos que: La Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma […]