Metric geometry: Loci. Solución I (Selectivity 2014 – B1)

Vamos a resolver el problema de determinar un cuadrado, cuyos vértices se encuentran sobre elementos geométricos dados.
En particular fijaremos los correspondientes a una de sus diagonales sobre una recta, otro de los vértices en una recta diferente y el cuarto vértice sobre una circunferencia.

El nivel de este problema es básico, no necesita de conocimientos geométricos avanzadas aunque si es necesario un análisis detallado para determinar su solución y cuantificar cuántas de pueden dar.

Problem Statement

As we saw, el enunciado decía:

Dada la recta r, The straight s and circumference c, dibujar los posibles cuadrados que tengan una diagonal comprendida en r, un vértice en la circunferencia y otro en la recta s.

Para resolver un caso concreto se facilitaba la siguiente imagen, en la que se dan los elementos geométricos necesarios que complementan al enunciado.

Podemos cambiar la posición de dichos elementos en cuyo caso veremos que se puede limitar el número de soluciones o incluso impedir que exista alguna, pero eso será más adelante una vez analizado el problema propuesto.

Análisis del problema

La idea básica que permite resolver el problema es ver que si una diagonal se encuentra sobre una recta dada (en color negro) los otros dos vértices se encuentran a la misma distancia d de dicha recta.

Si los vértices anteriores se encuentran a igual distancia de la recta r que contiene a la diagonal, como uno de ellos está en otra recta, s, el vértice que nos queda deberá encontrarse en la recta simétrica de ésta (s) respecto de la que contiene a la diagonal (r), que actuará por tanto como eje de simetría axial.

Los posibles puntos de corte de la recta s’ simétrica de s respecto de r, serán los posibles vértices de los cuadrados buscados.

En la siguiente figura se ha completado una de las soluciones, determinando los vértices restantes del cuadrado que, como se ve, estarán sobre una circunferencia circunscrita al mismo, de centro el punto O1.

Análisis de soluciones

Es fácil concluir que este problema puede tener dos, una o ninguna solución dependiendo de los puntos de corte de la recta s’ con la circunferencia c.

• Si la recta no corta no habrá solución real al problema (soluciones imaginarias)
• Si la recta es tangente a la circunferencia tendremos una única solución (double)
• Si la recta corta en dos puntos tendremos dos soluciones (soluciones reales)

Además de cambiar la situación de los elementos podemos cambiar uno de los elementos geométricos.

¿ Cuál sería la solución si en lugar de tener el vértice sobre la recta s lo tuviera sobre otra circunferencia dada ?

Estoy seguro que encontrarás fácilmente la solución a este nuevo problema.

GEOMETRÍA MÉTRICA