Vamos fazer um pouco introdução à topologia recreationally, por um conjunto envolvendo uma fita ou banda de Moebius.

É um exercício que eu faço nas primeiras aulas de geometria que eu dou aos meus alunos da UPM aeronáutica e usado para explorar os conceitos básicos ao mesmo tempo estimular a curiosidade pela ciência.

La banda de Moebius a fita de Moebius (pronunciado / møbiʊs / ou espanhol, muitas vezes “Moebius”) é uma superfície com um lado e um bordo, o componente de contorno. Tem a propriedade matemática de ser um objecto nonorientable. É também uma superfície pautada. Ele co-descoberto independentemente pelos matemáticos alemães August Ferdinand Möbius e Johann Benedict Listing em 1858. (W)

"O livro de matemática. De Pitágoras para a dimensão 57. 250 marcos na história da matemática ", Clifford A. Pickover, Livreiro, 2011.

O Topologia é o estudo destas propriedades dos sólidos que permanecem inalterados por transformações contínuas. É uma disciplina matemática que estuda as propriedades dos espaços topológicos e funções contínuas.

O Topologia interessado em conceitos tais como a proximidade, Número de buracos, o tipo de consistência (a textura) apresentação de um objeto, comparar e classificar objetos… (W)

Para a atividade precisa apenas os elementos que você vê na imagem:

Folha de papel

Lápis

Tesoura

Fita

Esta atividade serve para motivar os alunos, tanto para estimular o pensamento e análise racional.

Pode ser realizada num curto espaço de tempo, meia hora, sendo um tempo decorrido que proporciona um elevado desempenho intelectual

Construir bandas

Primeiro vamos construir duas faixas com duas tiras de papel, uma em um anel ea fita de Moebius.

Vai cortar uma tira retangular de papel e colocar um pouco de fita em uma extremidade.

A idéia é mesclar as duas bordas menores do retângulo para formar uma banda circular.

Podemos fazer isso de duas maneiras, como queremos uma banda normal ou a fita de Möbius.

Primeiro vamos fazer uma banda normal. Papel vai unir as extremidades do seu lado curto para se obter uma forma cilíndrica, anel.

Esta superfície tem dois lados, uma interna e externa.

Se formos para um lado com um dedo, nunca jogar do outro lado.

Em seguida, construir a banda de Moebius. Neste caso, quando as extremidades são coladas, transformaram para uma.

Isso faz com que a rotação do artigo, ligar os dois lados da superfície; obtém-se uma superfície com uma única, e que se repete a operação acima, lavagem da superfície com um dedo, gastaria toda a superfície.

Esta idéia nos permite falar de um número de faces pares (2) o impares (1).

Nós construímos duas bandas diferentes que servirão para “jogar” com eles e estimular a análise básica que nos permite trabalhar mais com as superfícies abstratas.

As superfícies das faixas

Os elementos necessários para iniciar a digitalização está pronto. Reveja o número de faces, enquanto a banda preparou para ser cortado.

Com o lápis vai desenhar, a partir de qualquer ponto, rolar uma linha para cima para o seu centro. continuar a desenhar até fechar a linha para completar o retorno à banda.

Dividimos a banda por uma linha “equidistante” das suas extremidades. Dizemos que esta linha está longe 1/2 ( médio).

Enquanto na faixa normal só tirar metade da superfície (cara que começamos), na faixa de Moebius vai alinhar toda a superfície, o que não só cara.

Você também pode ligar “Linha média” da face.

Como mais um exercício, Podemos desenhar linhas em outras distâncias:em vez de dividir a largura em duas partes, faremos três, quatro …

Ele deixa em aberto o exercício para motivar a exploração do ano, levantar algumas questões:

• Se dividimos em três partes, para desenhar as linhas na banda Podemos fazê-lo sem levantar o lápis do papel? nomeadamente, com um único golpe que cruzar a fita, linhas que terminam.
• Ao construir a banda, se em vez de girar uma vez, volta dois, três, quatro…. ¿Quantas faces tem superfície?

Cortar superfícies

A parte mais interessante do jogo vem quando “cortar” fita ao longo da linha que já marcou. Antes de começar a cortar, ¿Somos capazes de prever o que va a passar?

Começamos com a fita “normal”, aquele que não tem giro.

Vamos seguir a linha traçada para voltar ao ponto de onde começamos a cortar.

Será o mesmo resultado com a outra fita?

¿Terá uma o de filmes como consequência?

¿De uma a dos caras em cada caso?

A antecipação é uma resposta interessante para o mecanismo de análise. Vemos que o corte da fita obter dois exatamente igual ao original, exceto na largura, foi reduzido para metade.

O que vai acontecer para cortar a fita de Moebius?

Vemos que neste outro caso é obtido também uma largura de banda de metade do que o original, mas “apenas uma fita”.

Seu comprimento tornou-se o dobro da primitiva, Após o “só tinha um rosto” !!!

Quantas faces que a nova banda?

Este exercício não termina aqui, Agora vamos tentar generalizar os resultados para o caso de marcar as linhas, em vez de na linha média, de um terço da distância (largura), ou quarto, o de um quinto …..

Também podemos especular sobre o que poderia acontecer se fizermos duas voltas para construir a fita, o três, ou quatro….

Nós podemos construir algumas fitas para experimentar e tirar conclusões, o resultado pode ser surpreendente.

¿Obter duas fitas linked?

¿Você pode obter três? ou “três vezes mais longo” ???

Deixo a análise pode muito bem dar-lhe uma noite de entretenimento. Uma noite com seus amigos, filhos ou alunos.

Um exercício que, como eu disse anteriormente, é um bom tempo gasto desde a surpresa aguça o pensamento crítico e criativo.

¿Te animas a experimentar?