射影幾何 : 對合的中心

Las involuciones en series de segundo orden son de especial interés en la determinación de los elementos de una cónica.

我們已經看到如何確定對合軸和, a partir del concepto de 極地的某點相對兩行, 可能對合，可以從四個點設置, con sus respectivos ejes de involución, obteniendo el autopolar 三角 asociado en el que encontramos las relaciones armónicas del cuadrivértice completo.

En este artículo seguiremos profundizando en estos elementos, en particular en los vértices del triángulo autopolar que determinarán lo que conocemos como “Centro de Involución”.

我們會記住兩個光束投影直有投影中心它把它們綁定. Este punto lo podemos determinar mediante la intersección de dos lugares geométricos (pasarán por puntos de dos series perspectivas resultado de seccionar los haces por elementos homólogos).

Si consideramos los puntos de intersección de pares de rayos asociados (a-b’ y a’-b) obtendremos los lugares geométricos citados

兩束投影的投影中心

Si proyectamos desde dos puntos cualesquiera de una cónica dos series superpuestas que sean proyectivas, los haces resultantes son proyectivos y tendrán asociado un centro proyectivo.

En la figura hemos proyectado desde V1 y V2 los puntos A,乙,X …. y A’,B’,X’ que se encuentran en involución. Los pares de rayos asociados a-x’ y a’-x determinarán un lugar geométrico en el que se encuentra el eje proyectivo de estos haces. Este lugar geométrico es la recta A-A’ que une los dos puntos homólogos. Al repetir esta operación con otro par de puntos en involución vemos que D3 será el centro proyectivo buscado y cada par de puntos homólogos en la involución estarán en una recta que pasa por este punto, que llamaremos “對合的中心”.

Si obtenemos nuevos puntos en cualquiera de las involuciones de ejes e12, e23 y e31 estudiadas, vemos que los pares de puntos homólogos estarán alineados con los vértices del triángulo autopolar, D1, D2 和 D3. En cada involución los pares de puntos homólogos se encontrarán sobre rectas que contengan a su eje de involución.

Este punto nos permitirá obtener el homólogo de un punto en la involución con trazados menos laboriosos. Podemos usar por ejemplo el centro y el eje de involución en un mismo problema, destacando la forma de operar con ellos, para determinar el homólogo de un punto X.

Sea la involución de puntos A-A’ 和 b b’ en la que se pretende determinar el homólogo del punto X.

Este punto lo determinaremos mediante la intersección de dos lugares geométricos en los que debe encontrarse.

En la recta que se forma al proyectar X desde el centro de involución
En el rayo homólogo del que obtenemos al proyectar desde un punto de la cónica. El haz perspectivo con vértice en el punto homólogo del de proyección tendrá por eje perspectivo el eje de involución.

Aunque ahorramos una única línea respecto del uso del eje de involución, los conceptos aplicados nos serán muy útiles en problemas más complejos como se verá más adelante.