度量幾何 : 投資梁週

Al estudiar la 在平面上的投資 analizamos la transformación de los elementos geométricos básicos (recta y circunferencia) en dos casos diferentes, cuando el centro de inversión se encontraba sobre ellos o en un punto cualquiera que no les pertenecía.

La transformación mediante inversión de elementos agrupados en formas geométricas puede tener interés para usar la inversión como herramienta de análisis en problemas complejos. En este caso estudiaremos la transformación de los “haces de circunferencias corradicales” mediante diferentes inversiones que los transformen. Más adelante necesitaremos estas transformaciones para resolver el problema de “Apolonio” (circunferencia con tres restricciones de tangencia) o la “Generalización del problema de Apolonio” (circunferencias con tres restricciones angulares).

Transformación de la circunferencia por inversión

Si consideramos que una recta puede ser una circunferencia de radio infinito, generalizando, concluimos que en cualquier caso una circunferencia se transforma mediante una inversión en otra circunferencia.

Vimos que ambas circunferencias estaban relacionadas también mediante una homotecia de centro el de inversión. En la figura el punto I es centro de una inversión positiva que transforma la circunferencia Ç en la circunferencia Ç’. La potencia de inversión se ha representado mediante la circunferencia de autoinversión Ck cuyo radio es la raíz de dicha potencia. Los puntos 一 和 一’ son elementos inversos pero no son homotéticos mientras que los de tangencia desde el centro de inversión, Ŧ 和 Ŧ’, 他們是唯一誰可以扭轉時間，位似中心點 我.

當時我們看到了相反的圓周中心與投資的中心對齊，, 雖然它們是位似於與所述圓周homotecias, 他們沒有扭轉投資.

拋物線束投資.

該 corradicales梁周長拋物線 由這些圓周形成相切彼此在一個點. 這一點屬於 激進的軸 所有的並具有就束的任何週的沒有權力屬於所有.

如果我們考慮到圓切線點 “一” 圓周C1我們以前投資, 其轉化的穿過點A’ 一種轉化為在該點處的圓周C的唯一切 (其切線) 止切在轉化的甲’ 的圓周C’ 相反地​​因此應該確定切線和再次拋物線光束.

原來的光束的通過投資的中心通過的圓周將成為在點A處的切線變換光束’ 和, 因此, 在其根部軸.

通過投資投資中心公共點以所有轉化為一組平行線，並垂直於原來的光束的基線, 作為包含投資中心的圓的倒數是直線方向垂直於該圓的經過反轉的中心的直徑.

作出投資Elíptico

該 corradicales梁周長橢圓型 他們是由那些通過兩個共同點，使光束圍繞圈形成. 這些點稱為 “光束的基本點” 他們屬於 激進的軸 束和具有相對於沒有權力束的任何週向屬於所有.

類似於我們所看到的拋物線的情況下, 通過兩個點他們的投資變換光束的所有圓周穿過上述的兩個相對點，因此將確定一個新的橢圓束週

自由基軸 和 波束將成為週 和’ 這將通過反轉的中央.

通過投資投資中心共同所有的要點之一 (關鍵點) 變換將是一組直線穿過其他公共點的逆這是不投資中心.

因此，我們看到，改造成的直束.

作出投資雙曲

該 corradicales梁雙曲型的圓周 son los formados por aquellas circunferencias que no tienen ningún punto en común, sus centros se encuentran sobre una recta (base del haz) y tienen un 激進的軸 común. Las circunferencias de menor diámetro tienen radio nulo (dos puntos, L1 y L2) denominándose “puntos límites del haz“.

Al estudiar estos haces vimos que los puntos límites del haz hiperbólico eran los puntos fundamentales del haz elíptico conjugado.

Esta relación entre los haces elípticos e hiperbólicos nos permite deducir que un haz hiperbólico al ser transformado mediante una inversión se transforma en otro haz hiperbólico cuyos puntos límites son los transformados de los puntos límites del haz original.

En efecto, 如果我們把兩個極限點就會成為上述兩個新的反點. 橢圓光束穿過它們將成為一個橢圓形光束穿過經處理的和, 為符合轉型 (維護角度), 具有每共軛橢圓雙曲線光束, 將轉變成一個新的光束應該是垂直於橢圓形的逆.

特別感興趣的投資中心有邊界點之一.

在該圖中它示出了具有點L1和L2限制雙曲線corradical光束, 其圓周在基線b為中心, 共享自由基軸和y是垂直於中心束正交波束的圓周 (intersección de la recta base y el eje radical). Esta circunferencia pasará por los puntos límites.

Si tomamos como centro de inversión uno de los puntos límites, por ejemplo L2, con una potencia cualquiera, el otro punto límite se transformará en un nuevo punto, L1′, y la circunferencia que pasa por los puntos límites, L1 y L2, perteneciente al haz conjugado del haz hiperbólico se transformará en una recta que pasará por L1′ inverso de L1.

Como todas las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a esta circunferencia, sus inversas lo serán a la recta inversa de ella, por lo que tendrán que tener su centro en esta recta.

Por otra parte como los centros de las nuevas circunferencias inversas tienen que estar alineados con los centros de las circunferencias originales y el centro de inversión, al estar este centro de inversión en la recta base, las nuevas circunferencias inversas de las del haz deberán tener su centro en la recta base.

亦即, las circunferencias inversas deberán tener su centro en la recta base y en la recta transformada de la circunferencia que pasa por L1 y L2. La intersección de estas rectas es el punto L1′ inverso de L1, por lo que el haz de circunferencias se convierte en un conjunto de circunferencias concéntricas.

Veremos el interés de estas transformaciones al aplicarlas en la resolución de problemas de tangencias o angularidad.

Otras inversiones de interés.

Cabe destacar en todos los casos, haces elípticos, 抛物線和雙曲線, el interés que tiene usar un punto del eje radical como centro de inversión y potencia la de este punto respecto de las circunferencias del haz. En este caso el haz se transforma en sí mismo. Se deja al lector el análisis gráfico de este interesante caso.