Projektive Geometrie: Projektivität

Die Beziehung genannt “cuaterna” oder “Doppelverhältnis von vier Elementen” um die allgemeine homographische Transformationen Perspektivität und Projektivität definieren.

Wir haben gesehen,, zu studieren, die Perspektivität zwischen den Formen der ersten Kategorie, dass eine Anzahl von Basis v und haz Vertex V, nicht auf der Linie v befindet, sind perspektivische wenn die Reihe Schnitt des Strahls oder, die gleich ist, Wenn der Strahl von dem Scheitelpunkt V des Basisserien v projizierten.

Dieser Begriff der Perspektivität zwischen Elementen Kerbe, aber unterschiedlicher Natur (Punkte, gerade), wir ähnliche Produkte definiert haben (Strahllinien und eine Reihe von Punkten), verallgemeinern den Begriff der Perspektivität anschließend geometrischen Elementen des gleichen Typs:

Zwei gerade Balken verschiedenen Ecken, V und V', Perspektive einander sind, so kann als eine Projektion eines gemeinsamen Satzes erhalten werden.

Zwei Reihe von Punkten verschiedenen Basen, s und s', Perspektiven einander sind, cuando se pueden obtener como sección de un mismo haz.

In beiden Fällen sehen wir, dass die geometrischen Formen und die damit verbundenen, Serie o Haces, haben eine gemeinsame Doppelelement (der Punkt gerade Doubles).

• Gerade Träger V(abcd…) und In '(A'B'C'D '…), de Basen V und In ', sind perspektivische perspektivischen Achse mit der gerade und. Die Linie V und V gemeinsam ', enthält, dass die Bündel Basen, ist Dual-Element-: d = d '
• Die Reihe von Punkten r(ABCD…) und r '(A'B'C'D '…), de Basen r und r ' , sind perspektivische perspektivischen Mittelpunkt mit V. Der Punkt in r und R', mit einer Reihe von Basen, ist Dual-Element-: D = D '

Projektive Methoden

Durch die Bewegung zwei Bündel perspektivischen Status Perspektivität verloren, jedoch, um die relative Position zwischen den Elementen jeder Form nicht ändern,, Quaternionen bleiben:

(abcx)=(ABCX)=(a'b'c'x ')

Wir sagen, dass die Bündel von Knoten V und V’ Quaternionen sind projektive wenn vier Elemente, die eine und die andere Strahl Kollegen ermitteln gleich sind (die gleiche Kenn).

Im Fall von zwei Perspektiven Serie das gleiche Ergebnis. Wenn wir uns trennen, indem zwei Reihen sind die gleichen Trägerabschnitt, aufhören, Aussichten bleiben aber gleich Quaternionen, dass daher jede projektive.

In diesem Fall, wenn wir bilden ein Quad mit vier Punkten der Reihe und eine mit seinen Amtskollegen aus den anderen Serien werden erfüllt:

(ABCD) = (A'B'C'D ')

Wir werden später sehen, wie wir mit dieser Serie und Strahlen, die durch Betrieb perspectividades Zwischen, bekommen, was wir nennen “projektive Zentren und Achsen“

Geometría Proyectiva