Eine Empfehlung, die ich immer tun, um meine Studenten ist zu versuchen, das gleiche Problem auf verschiedene Weise zu lösen, statt oft die gleichen Probleme mit fast ähnlichen Aussagen.

In einem meiner letzten Klassen schlagen wir den Erhalt der inversen eines Punktes, eine Investition in der Mitte und Macht ist bekannt,. Die vorgeschlagene Formulierung war wie folgt:

Da das Quadrat in Fig, in dem ein Scheitelpunkt ist das Zentrum der Inversion und die gegenüberliegenden Scheitel sind ein Doppelpunkt, Bestimmen des Inversen der Punkt A (benachbarte Scheitel).

Podemos buscar diferentes construcciones que se basen en los conceptos utilizados tanto en la metrischen Geometrie wie in der projektiven Geometrie. Iniciaremos el estudio inicialmente con cinco soluciones de naturaleza métrica.

Investitionen in der Ebene

Empezaremos por recordar la relación métrica entre dos puntos inversos, estudiada en el capítulo de “Investitionen in der Ebene“.

1. La inversión es una transformación con centro. Cada punto A y su transformado A’ están alineados con el centro de inversión I.
2. El producto de distancias del centro de inversión a un punto y a su transformado es constante y se denomina potencia de inversión. IA*IA’=cte.

En el ejercicio propuesto, al conocerse un punto doble, conocemos la potencia de inversión que es el valor de la diagonal al cuadrado. Todos los puntos de una circunferencia de centro el de inversión y de radio la raíz de la potencia (diagonal del cuadrado) serán puntos dobles. Esta circunferencia se conoce como “Umfang autoinversión”

1 Theorem Katheter

El primer modelo propuesto se basaba en uno de los teoremas más usados en Geometría METRICA, die “Teorema del Cateto”.

Die Theorem Katheter nos permite relacionar mediante una media proporcional el cateto de un triángulo rectángulo con su proyección sobre la hipotenusa y el producto con ella.

Theorem Katheter

Si se considera al segmento IT como cateto de un triángulo rectángulo y al segmento IA como proyección de este cateto, al obtener la perpendicular por T se obtiene el punto A’ siendo IA’ la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

2 Theorem Katheter

A partir de este mismo concepto podemos realizar una nueva construcción en la que determinemos el arco capaz de 90º que va a soportar al triángulo rectángulo. Este arco capaz sobre el segmento buscado IA’ lo obtendremos ya que es una semicircunferencia que pasa por los puntos I und T, y tiene su centro en la recta IA. Determinaremos la mediatriz del segmento IT (que pasará por el punto A en este caso particular al ser la diagonal de un cuadrado) y de terminaremos el centro del arco capaz sobre la recta IA.

3 Power-Konzepte

Die potencia de un punto respecto de una circunferencia, que definimos como la mayor por la menor distancia del punto a dicha circunferencia y que es igual al segmento de tangencia (desde el punto a la circunferencia) Quadrat, nos permite obtener nuevas construcciones.

En la figura vemos cómo el segmento de tangencia “l” es media proporcional entre “m” und “n”.

Para la nueva construcción determinaremos una circunferencia en la que IT es el segmento de tangencia y debe pasar además por el punto “A“, por lo que su centro estará en la intersección de la recta perpendicular a “I-T” von “T“, con la mediatriz de “A-T”

4 Power-Konzepte: Antiparallelität

Die Power-Konzept von einem Punkt eines Umfangs Produkt wird auf der am meisten für die mindestens der Abstände eines Punktes zu einem Kreis basiert.

Diese Abstandswerte in der Zeichenfolge, die den Mittelpunkt des Kreises und den Punkt enthält gegebenen, nämlich, im Durchmesser enthaltenden genannten Punkt. Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P, como hemos visto en la “Generalización del concepto de potencia“.

Anwenden Thales Theorem a los dos triángulos semejantes (PAD y PCB ya que comparten el ángulo en P y por ángulos en la circunferencia, arc Lage, son iguales en B y D) obteníamos que:

PA / PD = PC / PB

und damit

PA * PB = PC * PD = Constant

Lo que demostraba que Leistung von dem Punkt P ist unabhängig von der gewählten Zeile, wie wir wollten beweisen,.

Las rectas AB y CD son antiparalelas de AD y CB formando dos a dos los mismos ángulos.

En nuestro caso la recta I-T-T’ y la I-A-A’ serán antiparalelas de A-T’ y A’-T, siendo en este caso un ángulo recto el que forman dos a dos.

5 Investition von einer Linie

Al invertir figuras hemos visto que la inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que si pasa por este punto, cuyo centro se encuentra en la perpendicular a la recta desde el centro de inversión.

La inversa del segmento A-T será un arco de circunferencia cuyo centro se situará sobre la recta I-A, y pasará por el centro de inversión “I” así como por el punto doble “T-T'”

Die 5 primeras soluciones son de naturaleza métrica. Veremos otras 5 utilizando los conceptos de la geometría proyectiva en el siguiente enlace.

(próximamente en este enlace ….) Solución proyectiva de la obtención del inverso de un punto

Metrische Geometrie