Metrische Geometrie : Investitionen in der Ebene

Die Investition ist ein Transformation homográfica Beibehaltung der Winkelbeziehungen (entspricht).

Das Haupteinsatzgebiet ist die Bestimmung der Geometrie Probleme mit eckigen Bedingungen, einschließlich der Lösung sind Tangenten Übungen.

Es basiert auf den Konzepten der Basis Macht; ist Transformation involutive können zwei Elemente in den Fällen positiver Brechkraft haben.

Verwandeln Definition

Die Investition ist ein Bearbeitungszentrum. Dies bedeutet, dass transformierten Punkt und sind mit dem Inversionszentrum ausgerichtet, analog zur Transformation bekannt als homotecia.

Die Beziehung zwischen den relativen Positionen jedes Punktes und ihrer Beziehung zu der Mitte transformiert Anlage basiert auf dem Konzept Macht.

Da ein Zentrum “I“, und ein Paar von inversen Punkte “P” und “P’“, die Produkt der Abstände diese Punkte Investment Center konstant ist, und wird als Power Investment.

IP * IP’ = IQ * IQ’ = K * K =

Wird die Investition positiv ist Macht, transformierten Punkt und sind auf der gleichen Seite in Bezug auf die Investment Center. Die Punkte, die innerhalb des Abstands vom Zentrum K sind doppelt. Der Umfang des Fußradius der Leistung, Tapferkeit K, ist doppelt und doppelte Punkte, Stückelung von Umfang autoinversión.

Zwei Punkte und deren Umkehrungen sind concyclic

Wenn die Leistung negativ ist, wird die Investition Mitte zwischen jedem Punkt und in ihrer transformierten. Ist selbstinvertierend Umfang aber nicht Doppelpunkte.

Elements Investitionen

Studieren Sie die Investition von Punkten zusammen mit vier möglichen Fälle der Transformation, zwei für die Leitung und zwei für den Umfang, in dem die Investition Zentrum kann in jeder Position auf beiden geometrischen Element darüber positioniert sein.

• Linien, die das Inversionszentrum
• Gerade Zentrum enthält keine Investitionen
• Umfänge enthalten Investment Center
• Umfänge nicht mit dem Zentrum der Umkehr

Punkte Investition

Die Investition von Punkten kann gelöst werden, indem Power-Konstruktionen oder sogenannte Theoreme des Beines und Höhe.

Investitionen positive Energie

In diesem Fall ist eine der Innenumfang selbstinvertierend und eine äußere ( oder verdoppelt und sind darauf), aber auf der gleichen Seite der I. Wir können die Anwendung Theorem Katheter mit Selbst-invertierenden Umfang wie in Abbildung gesehen.

Positive Investitionen

Los Power-Konzepte ermöglichen es uns, sicherzustellen, dass zwei Punkte und ihre Umkehrungen concyclic sind (im gleichen Kreis, der doppelt in Anlage ist und schneiden orthogonal zur gleichen).

Umkehren negative Kraft

Eine negative Umkehrung kann durch gleich starke positive erhältlich (in-Modul) mehr eine zentrale Symmetrie. Anwenden Höhe Theorem bestimmen Paaren inverse Punkte.

Negative Investitionen

Diametralen Stellen auf dem Umfang sind selbstinvertierend inverse.

Investment Center Zeilen mit Investitionen

Dies ist der einfachste Fall, da, durch die Definition von Transformation, das Inverse jedem Punkt mit dem Punkt und dem Zentrum der Inversion ausgerichtet und damit die Rückseite der Linie, falls der Gehalt der Mitte Umkehr, sich gerade.

Investition von einer Linie

Investition gerade die kein Investment Center

Umfänge Investitionen mit Investment Center

Diese beiden Fälle können zusammen untersucht werden, da die Transformation ist involutive und, wie oben, die Invesa einer Linie, die keine Investitionen Zentrum enthält, ist ein Kreis, der es und umgekehrt enthält.

Als zwei Punkte und ihre Inversen sind concíclicos die Linien, die zwei Punkte verbindet und ihre Inversen sind antiparallel von Linien, die jeden Punkt unterstützt und ihre inverse (zwei vor zwei den gleichen Winkel). In der Figur ist die Linie PQ einen Winkel alpha mit der geraden QQ’ gleich zwischen der Linie P'Q’ mit PP '.

Antiparallelität

Durch die Anlage eines Kreises durch den Mittelpunkt der Inversion und einem Punkt P, seine rücktransformierten Pass durch die P '. Wenn wir investieren, einen weiteren Punkt Q auf Q’ wir sehen, dass der Q-Winkel in Abbildung sollte gerade in einem Halbkreis eingeschrieben werden. Dementsprechend das Segment P'Q’ sollten einen rechten Winkel mit der Linie PP bilden’ und ist erforderlich, um in der Linie c sein '. Wiederholen Sie diesen Vorgang für die unendlichen Punkte des Kreises erhalten wir die gerade c’

Gerade Investitionen Umfang

Entsprechend:

Die Inverse eines Kreises durch den Mittelpunkt der Inversion ist eine Linie, umgeht, Richtung senkrecht zur Mittelachse Durchmesser mit Investitionen.

Da die Transformation ist involutive:

Die Inverse einer Linie, die durch die Mitte der Inversion leitet ein Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Senkrechten von der Mitte der Zeile Investitionen.

Investition Umfängen, die nicht das Zentrum Investitionen

Durch das Studium der Transformation durch homotecia wir haben gesehen, dass zwei koplanaren Kreise von zwei verschiedenen Zentren bezogen werden können. Die Abbildung zeigt das Zentrum I Errichtung einer postive Homothetie Verhältnis, in dem T und T’ homolog, Wie P und Q’ o bien Q und P’. Der Grund dafür ist so homotecia:

IT / IT’ = IP / IQ’ = IQ / IP’ = Kh

Andererseits, Power-Point- I am Umfang c ist:

W = IP * IQ

Indem die Leistung durch das Verhältnis der Dilatation:

W / Kh = IQ * IQ’ = Cte

Wir sehen, dass die beiden Kreise inverse Zentrum sind I und Macht W / Kh

Umgekehrt einen Umfang

Deshalb:

Die Inverse eines Kreises, der durch die Mitte der Inversion führt eine weitere kreis, Investitionen im Mittelpunkt der Homothetie Zentrum, das betrifft.

Wenn die homothetic Zentrum außerhalb der Umfänge der Leistungswert ist positiv, so dass die Vorzeichenumkehr Leistung entspricht der Mitte homotecia. Jedoch, Liegt der Dilatation Innenraum zu den Kreisen, die Vorzeichen umgekehrt.

Wenn die homothetic Zentrum am Umfang angeordnet, Macht null, kann es nicht als Investition.

Man beachte, dass obwohl die Mittelpunkte der Kreise homolog, nicht umkehren.

Die inverse O’ das Zentrum O ein Umfang c nicht durch den Mittelpunkt der Inversion der Fuß des polaren Symmetriezentrum am Umfang umgekehrter c’.

Die Einhaltung der Transformation

A Transformation ist, als wenn der Winkel durch zwei Elemente gebildet wird, die gleichen wie die Elemente, die den transformierten. Investment ist eine konforme Transformation so ist es sehr nützlich bei der Lösung von Problemen mit eckigen Bedingungen.

Die Antiparallelität zwischen den Linien zwischen zwei Punkten und deren Inverse, für die kommen mit jeweils inversen ist die Grundlage der Demonstration.

Die Linien, die vier Punkte auf einem Kreis, der Klang der antiparallel

Angenommen, eine Kurve C, die durch zwei Punkte verläuft P und Q. Segment PQ ist ein Seil dieser Kurve. Im Grenzfall, wenn wir passen die Punkte P und Q, Seil wird Tangente an die Kurve so:

Der Winkel zwischen der Tangente an eine Kurve an einem Punkt P mit der Zeile mit dem Punkt und seine inverse, ist das gleiche wie das den Arkustangens Bilden der Kurve.

Eine Kurve und ihre Inverse den gleichen Winkel mit der Verbindungslinie zwischen jedes Paar von Punkten inverse

Si, die an den Kurven, jeweils der Winkel zwischen ihren Tangenten beibehalten schließen, dass:

Der Winkel zwischen beiden Kurven ist die gleiche wie die durch die inverse Kurven gebildet, por lo que Investition ist eine konforme Transformation.

Compliance im Investment

Die Anwendung auf die Lösung von Problemen in zwei konzeptionell verschiedene Arten erfolgen:

• Vereinfachung der Problemdaten.
• Vereinfachung der Lösung gesucht.

Wir werden einen neuen Eintrag in eine eingehende Diskussion über diese beiden Modelle der Analyse zu sehen, aplicándolos ein Problem angularidad.

Metrische Geometrie

Externe Links

• Investitionen in der Ebene (W)
• Investment Properties (Applet interaktive Gauß)