Apollonius et ses dix problèmes

Un des articles les plus complets qu'ils ont écrit mes élèves dans les classes de géométrie décrivant comment résoudre le soi-disant “Problèmes Apollonius”.

Déterminer venir circonférences droites ou des contraintes géométriques définies par les tangentes sont basés sur une famille de problèmes géométriques de grand intérêt.

Le groupe “AG-Nous ne sommes pas hicks” nous introduit à juste titre et de la rigueur dans ce numéro. Publié initialement aquí, appartenant à l' groupes éprouvent “Blogs expérimentale”, Article transcrire littéralement, ajouter des liens dans le texte qui se complètent. Merci Diego, Alice, Clara, Sara et Sergio

Apollonius et ses dix problèmes

Biographie:

Avant de développer les théories et les problèmes Apollonius, nous présenterons une courte biographie du Apolonio.

Apollonius de mathématicien grec est né à Perge(262 Colombie-Britannique- 190 Colombie-Britannique),était un élève d'Archimède. Ni est connu au sujet de sa vie, sauf pour les présentations faites dans certains de ses traités qui est composé son grand ouvrage “La conique” utilisés dans les premiers termes: “ellipse, parabole et hyperbole“. Il a également découvert et décrit le “Épicycles” avec qui Ptolémée serait utiliser pour expliquer le mouvement des planètes. Selon les historiens Apollonius avait un caractère irascible qui lui fait un traitement difficile.

Parmi les œuvres d'Apollonius de Perge support géométrique “Les lieux Planes” où les opérations sont effectuées choses les plus importantes à savoir dans la conception géométrique avec un langage moderne et la géométrie analytique près que: dilatation, traduction, investissement, la rotation et la similarité.

L'une des principales contributions à la géométrie d'Apollonius est le projet de problèmes systémiques tangentes, qui sont résumées dans la déclaration suivante:

«Étant donné trois objets qui peuvent être, chacune d'entre elles, des points, les cercles droites, dibujar un cercle tangent à ces trois ".

Les différents problèmes tangencias provenant échanger ces éléments donnent lieu à leur conocidos étude de cas de la géométrie classique, avec les différentes solutions proposées qui ont été le rendre à la longue histoire de.

Démarquez-vous 10 cas:

• trois points,
• Trois fois de suite,
• points et une ligne,
• des lignes droites et un point,
• Le secteur de cercle et une,
• des cercles et un point,
• des lignes droites et une cercle,
• deux cercles et une ligne,
• Point, une ligne et un cercle
• Tres circonférences.

Un autre apport fondamental d'Apollonius, sont les coniques.

Sections coniques étaient connus comme Apollonius effectué l'étude de ces, mais son traité se déplace sur les autres théories. Auparavant, on croyait que l'hyperbole Apollonius, la parabole, et des sections d'ellipse ont été obtenus à partir de différents cônes selon l'angle au sommet.

Alors, Apollonius démontré que ces courbes peuvent être obtenues à partir des mêmes sections d'un cône, faire varier l'inclinaison du plan qui coupe cette. En plus de certifier que le cône ne doit pas être un cône droit, peut être circulaire, scalène ou oblique.

Outre les courbes coniques ont des propriétés intéressantes.

L'une des plus importantes découvertes Apollonius sont les propriétés de réflexion.

Reflet de la parabole: si la lumière provenant d'une source éloignée par un miroir parabolique, de telle sorte que les rayons incidents sont parallèles à l'axe du miroir, ensuite la lumière réfléchie par le miroir est focalisée sur l'objet.

La légende veut que Archimède, contemporain d'Apollonius, utiliser cette propriété pour défendre Syracuse aux Romains brûlé les vaisseaux de ces. Pour cette, produit un système de miroirs paraboliques qui concentrent la lumière du soleil a obtenu dans les navires romains.

Aujourd'hui, la propriété dispose de plusieurs services publics tels que: systèmes radar, antennes de télévision ou des miroirs solaires, notamment.

Reflet de l'ellipse: si une source de lumière placée au foyer d'un miroir elliptique, ensuite la lumière réfléchie dans le miroir est concentrée à l'autre foyer.

A savoir, si un rayon d'un point, reflété par le faisceau ellipse suivre un chemin qui est passé par l'autre foyer.

Sur la base de cette propriété, nous pouvons voir que si nous avons une table de billard avec elliptique, et a lancé le ballon d'une mise au point, avec une direction quelconque, ce rebond avec table de jeu et de passer par l'autre foyer.

Si le rebond de la balle se poursuivra par le premier foyer, et ainsi de suite, llagase jusqu'à un moment où la trajectoire de la balle pourrait être confondu avec le demi-grand axe de l'ellipse.

Si au contraire, ils lancent la balle à partir de tout point autre que l'un des foyers n'était pas une de la ligne qui relie, les segments de la figure de trajectoire de la balle décrivent une autre ellipse.

Et inversement, si le point de départ de la balle est un point situé sur la ligne reliant les foyers, Ceci établit l'enveloppe d'une hyperbole avec les mêmes foyers.

La construction est en salles au plafond elliptiques curieux. Lorsque vous effectuez un son d'une mise au point, cela sonnera avec une grande clarté de l'autre foyer. Aussi va mettre le son en même temps de se propager d'un foyer à l'autre quelle que soit la direction que nous prenons pour la diffusion. Cet effet permet également l'insonorisation des chambres.

Reflet de l'hyperbole: rayons provenant de l'un des foyers d'une hyperbole se reflètent de manière que les rayons réfléchis semblent provenir d'une autre source.

Cette propriété a été utilisée pour la création d' LORAN, qui est un dispositif de navigation hyperbolique radio qui a été utilisé et est encore utilisée, De toute évidence, dans une moindre mesure en raison de l'émergence de GPS et d'autres systèmes, pour fixer la position des navires et aéronefs.

Est basé sur le calcul de la différence de temps obtenue dans un récepteur de signaux provenant des deux stations émettrices situées dans la surface terrestre.

Comme le positionnement est effectué en deux dimensions, si vous connaissez la différence des distances aux deux stations permet de localiser le lieu des points, où vous pouvez trouver le bateau ou l'avion, qui est une hyperbole dont les foyers sont les saisons.

Connaissant l'intersection de deux ou plusieurs hyperboles est possible de définir la position de l'aéronef ou navire.

LES DIX PROBLÈMES apolonio

Ensuite, nous allons traiter 10 problèmes fondamentaux de Apollonius, qui sont fondées sur la tangence entre les lignes et les cercles.

Commençons à parler de votre problème principal, à partir de laquelle résolu tous les autres cas, c'est à dire tous finalement être réduit à un cercle qui est tangent à l'autre et passant par deux points. Bien que son problème le plus difficile est de faire un cercle tangent à trois.

Première et deuxième problème

Auparavant, ce problème, il ya simple à réaliser, qui sont: dessiner le cercle par les points portres(PPP) y trazar le forfait de Québec de circonférence pour puntos dos y es tangente a una recta(PPR). Sont présentés ci-dessous:

Cercle passant par trois points.

Tangente à une ligne et passant par deux points

Troisième problème

Ahora Vamos a centrarnos de la chasse una circonférence tangente un otra Y Que étape pour puntos dos. Étapes à suivre pour résoudre sont les suivants.

1. Nous trouvons la médiatrice du segment joignant les points donnés, il doit être au centre des cercles que nous.
2. La ligne joignant les points que nous savons qui sera l'axe radical des cercles que nous avons tous.
3. Ensuite, dessinez un cercle auxiliaire passant par les points et couper le cercle donné et tracer une ligne droite reliant les points d'intersection des deux cercles. A l'intersection de cette droite avec la droite reliant les deux points (axe radical) trouvé le centre radical.
4. Nous retrouvons les tangentes du centre à la circonférence donnée radical, ces points de tangence des cercles aussi nous recherchons.
5. Enfin, nous ajoutons des points de tangence avec le centre du cercle et où la perpendiculaire couper les points donnés, nous obtenons les solutions de centres de circonférences.

Quatrième problème

Vamos a de con continuar de chasse una circonférence tangente un Tres rectas, dans ce cas, il y aura quatre solutions possibles, comme on le verra ci-dessous dans l'image.

La procédure est simple:
-Comme nous le savons le centre des cercles doit être dans les médiatrices internes et externes qui forment trois lignes. Circonférences produire cherché à l'intersection de ces lignes.

Cinquième problème

De la chasse Suivant une explicar aa ser una circonférence tangente a dos rectas y cual passe pour un ajustement.

Dans ce cas, on parle de plusieurs possibilités:

1- Si las rectas si Cortan y de casse si Encuentra Entre UNLEASH:

Dans ce premier cas, ce que nous allons hllar la bissectrice de l'angle et de trouver l'homologue du point donné, après quoi le problème se réduit à un cercle tangent à une droite qui passe par deux points

( expliqué ci-dessus).

2-: Il peut arriver que le point donné appartient à l'une des lignes données:

Dans ce dernier cas que nous faisons est tracer les médiatrices des deux áangulos formant deux lignes et le point donné tracer une perpendiculaire à la ligne qui le contient qui médiatrices ailes coupées aux points recherchés, c'est à dire les centres des circonférences.

3: Pour último hablaremos la posibilidad de Québec las dos rectas dadas Sean parallèle.

A savoir que le point se trouve entre les deux lignes, donc tracer un cercle de centre A et de diamètre égal à la distance entre les lignes. Ainsi nous obtenons les centres des deux solutions à l'intersection avec le parallèle milieu. Le point peut également encontar dans une ligne donnée comme point B , donc trouver le centre du cercle de l'intersection de la moyenne solution parallèlement et perpendiculairement à l'une des deux lignes parallèles audit point B.
Illustré ci-dessous:

Sixième problème

Ce problème est basée sur la prise d'un cercle tangent à deux autres et en passant par un point .. Nous aurons quatre solutions possibles.

Nous considérons que le point que nous donnons en tant que centre d'investissement et de prendre l'un des deux cercles, comme circonférence auto-inverseuse, puis tracer les points dobles.Y circunferncia trouver ensuite le circunferenica de inversión.las circuanferencias tangentes aux chiffres donnés sont inverses de la solution et contiennent également des circonférences points de tangence à son intersection avec la circunferncia pointillé trouver dobles.Posterioemente . Enfin circonférences tarzar.

Septième question

Vamos a de Côme explicar si Realiza le circunferncia tangente a dos rectas Y Que su vez es une tangente un otra circonférence dada.Podremos dividir este problématique dos:

1- Discuter le cas où la circonférence donnée est comprise entre les lignes. La première étape consiste à construire les deux côtés de l'une des lignes droites parallèles à une distance égale au rayon de la donnée circunferncia, Ensuite, trouver le symétrique du centre de ladite circonférence par rapport à la bisetriz l'angle formé par deux lignes. La ligne droite reliant le centre et sa courte homologue à l'une des lignes droites dans un point, à partir de ce point, nous tirons tangentes à circunfercia centre et passant par le centre de la contrepartie. Ensuite, dessinez un arc avec centre et en faisant trouvé par les points de tangence, de sorte que nous obtenons est coupé parallèlement à la juridiction de première trouve à deux points, enfin levé à partir de ces points perpendiculaires à la bissectrice coupe en deux points, Seren dont les centres de la circunferncias buscadas.Para de trouver l'autre solution deux circunferncias tout ce que vous avez à faire est de répéter le processus avec l'autre parallèle, si nous obtenons les quatre solutions du problème.

2- Il peut arriver que la tangente de la circonférence donné des lignes, donc faites pour résoudre la même manière que précédemment, mais deux des cercles correspond à la solution de paire auxiliaire externe ( est effectuée de la même manière que précédemment) et les deux autres solutions sont réduites à un cas où les deux lignes se croisent, puisque nous savons l'emprise d'un.

Huitième problème:

Dans ce cas,, le problème d'Apollonius est donné deux cercles et une ligne, trouver un cercle qui est tangent aux deux cercles et droites.

Cette affaire compliquée, huit solutions, réduction est obtenue par le cas d'un point (le centre de l'une des circonférences), une ligne (une parallèle à la donnée) et une circonférence (un cercle concentrique à la gauche). Circonférences concentriques des cercles donnés ont un rayon R r et Rr étant rayons R et r circonférences données et parallèle à la distance r droite est tracée dans la ligne donnée.

Alors, ces quatre cercles ont été obtenus compte tenu d'un cercle concentrique de rayon R r; des quatre circonférences, deux sont obtenus avec l'une des opérations en parallèle et les deux autres de l'autre.

Ces quatre cercles sont obtenus solution compte maintenant un cercle concentrique de rayon Rr et encore, l'un des deux parallèles et deux à l'autre.

Voici les huit solutions dans la même figure.

Neuvième question

Laisser se développer l'avant-dernière épreuve des dix problèmes d'Apollonius avant d'atteindre le problème fondamental, dans ce cas, nous allons vous expliquer un passage circunerencia par un point et est tangente à un cercle au lieu d'une ligne.

Selon l'emplacement des données que nous avons quatre solutions, mais dans certains cas, pas parvenus à un.

Pour relizarlo doivent suivre une série d'étapes:

1. La ligne est la figure de placement de la circonférence , trouver une ligne perpendiculaire à cette ligne et passant par le centre de la donnée circunferecia, si nous trouvons le centre de l'investissement du cercle( Le point I dans le dessin).
2. Trace arbitraire un cercle passant par le point et les points qui ont tarzado découpe droite de la circonférence et la contrepartie dadas.Hallamos joignant le point donné, et également l'axe central et le radical radical donné.( points P et P'en d'étirage)
3. Nous traçons la bissectrice entre les points P et P 'et vous y trouverez les centres de la solution de cercles. Ensuite, la mesure tarazamos 90 segments CR-O arc et ainsi arriver à définir la place de tangence T.
4. Axé sur la CR et CR-T coupé rayon r en T1 et T2. Du T1 ar une médiatrice coupe le PP’ en S2 et un du T2 coupe perpendiculaire au S1, centres de la solution de deux cercles.
5. Ainsi nous obtenons deux solutions.

1. Afin d'obtenir les deux autres solutions que nous devons considérer le centre d'investissement négatif et trouver un. Arbitaria Nous avons dessiné un cercle qui passe par les points A, A 'et P et ensuite comme dans le cas précédent, nous trouvons le point central et l'axe p'y dans radicale.
2. Nous pouvons segment d'arc 90 CR-O, en obtenant ainsi l'emplacement de tangence T comme dans le cas précédent de cenro en rayon CR et CR-T trouver les points de tangence 3 y 4 à couper la ligne en deux points.
3. Tracer la médiatrice du segment PP '. Depuis T3 une médiatrice de la ligne coupe ar PP'en S3 et l'autre perpendiculaire à partir coupe T4 en S4, centres de l'autre solution deux cercles.

Dixième problème.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, dans lequel une tangente de cercle complet à trois. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Est réalisée comme suit:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, trois interne et externe trois, des trois cercles qui nous donnent. Ces six points se trouvent sur quatre lignes. Alors ce que nous faisons, c'est de prendre l'une des quatre matchs de suite et trouver le pôle sur les trois cercles, ensuite rejoint le centre radical du cercle avec trois pôles et obtenir les points de tangence des cercles avec des circonférences dadas.Lo recherchées Tout ce que nous faisons maintenant, c'est de bien choisir parmi les six points de tangence trouvé pour tracer deux cercles tangents. Cette procédure nous avons fait avec l'un de la ligne droite, ce que nous faisons avec les trois autres afin d'obtenir les huit solutions.

Il montre une image de la façon dont il serait la solution finale. C'est un peu compliqué d'effectuer cet exercice et cela est évident dans cette image.

Les informations obtenues à partir de: “Geothesis” “Zonabarbieri” et la géométrie Bella.

Cet article a été rédigé par les étudiants de l'École de génie aérospatial pour une expérience éducative novatrice d'utiliser le blog comme un outil pédagogique. Ma reconnaissance de ses efforts pour synthétiser les méthodes travaillées en classe dans cet article n'ont pas été négligé presque entièrement, dans la forme et le contenu