קיין פּראָבלעמס טאַנגענץ אַז פאַל אונטער די כעדינג פון “אַפּאָללאָניוס פּראָבלעמס” קענען זיין רידוסט צו איינער פון די געלערנט וועריאַנץ פון די מערסט יקערדיק פון אַלע: די פונדאַמענטאַל פּראָבלעם פון טאַנגענץ (פּפט).
אין אַלע די פּראָבלעמס מיר וועלן באַטראַכטן פונדאַמענטאַל אָביעקטיוו צו רעדוצירן די פּראָבלעם צו פאָרשלאָגן איינער פון די שליסל קאַסעס, דורך טשאַנגינג די קאַנסטריינץ אַז דעפֿינירן אנדערע קאַנסעפּס באזירט אויף אָרטהאָגאָנאַליטי.
אין דעם פאַל מיר וועלן לערנען וואָס מיר רופן “פאַל אַפּאָללאָניוס רקק“, ניימלי, פֿאַר די פּראָבלעם פון טאַנגענסי אין וואָס די דאַטע זענען געגעבן דורך צושטאַנד פון טאַנגענסי צו אַ גלייַך (ר) און צוויי קרייזן (סיסי).
Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:
Determinar las circunferencias que son tangentes a una recta y a dos circunferencias
Una de las cuatro posibles soluciones al problema
El problema tiene hasta cuatro posibles soluciones, aspecto que deberá ser analizado con detalle para obtener aquella que cumpla con las condiciones del diseño que correspondan en cada caso.
Supongamos que los datos del problema vienen determinados por las circunferencias C1 y C2 de centros O1 y O2, y la recta r, tal y como se representa en la figura anterior.
אין געלערנט די inversión en el plano vimos que se podían transformar rectas en circunferencias tomando centros de inversión en puntos de la circunferencia.
El radio de la circunferencia de autoinversión (IT) lo obtenemos a partir de la potencia de inversión IP*IP’ = IQ*IQ’ = IT*IT’ aplicando las construcciones, לעמאָשל, que hemos visto en el teorema del cateto.
Supongamos que la circunferencia “C” es una de las soluciones buscadas, tangente a la circunferencia ק1. Si invertimos ק1 y c con centro uno de los puntos de ק1 (די I1), las circunferencias inversas seguiran siendo tangentes ya que la transformación es conforme. La circunferencia ק1 se convertirá en una recta ya que I1 está sobre ק1.
Si elegimos la potencia de forma que C sea doble, c=c’, la recta transformada de ק1 será tangente a C, y la circunferencia c=c’ será ortogonal a la circunferencia de autoinversión.
Este análisis es el que nos permite obtener restricciones de ortogonalidad para ser utilizadas en nuestro problema, considerando las inversiones de potencia positiva que se dan entre las circunferencias y la recta.
En nuestro caso los centros I1 און I2 pueden considerarse centros de inversión que transforman las circunferencias ק1 און c2 en la recta ר.
En cada una de estas transformaciones, las circunferencias que buscamos, las soluciones, serán circunferencias dobles y por lo tanto deberán ser ortogonales a la de autoinversión.
El problema puede ser enunciado a partir de las nuevas circunferencias de autoinversión, ya que deben ser ortogonales a ellas:
Determinar las circunferencias ortogonales a dos y tangentes a una recta (o circunferencia)
Este nuevo enunciado es un caso del problema fundamental de tangencias, ya que las circunferencias ortogonales a dos dadas pertenecen al haz conjugado del que determinan. אין דעם פאַל, el haz conjugado quedará determinado por los puntos límites L1 y L2 situados sobre su recta base.
La solución quedará determinada resolviendo este último problema:
Determinar las circunferencias de un haz que son tangentes a una recta (אַרומנעם).
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