פּראָדזשעקטיווע געאָמעטרי: Cuadrivértice Completo

Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.

אַלגעמיין, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.

El cuadrivértice completo tiene 4 ווערטיסעס; se define a partir de un cuadrivértice general:

Esta figura tiene 6 lados, resultado de unir dos a dos los cuatro vértices.

Contiene 3 puntos diagonales, definidos por ser las intersecciones de los lados que no comparten un mismo vértice.

Tiene 3 diagonales, cada una de las cuales contiene a dos puntos diagonales

Relaciones Armónicas en el Cuadrivértice Completo

Recordaremos que dados cuatro puntos א, ב, C און ד, situados sobre una recta, podemos definir la razón doble de estos cuatro puntos (אַבקד) como el cociente de las razones simples (ACD) און (BCD). La razón doble la estudiamos al definir las קוואַדרופּלעס פון זאכן באפוילן mientras que la razón simple fue formulada en la introducción a באפוילן טריפּאַלז פון עלעמענטן.

Análogamente definíamos la razón doble de cuatro rectas, representado como (אַבקד), y relacionábamos esta razón doble con la de los puntos obtenidos al seccionar estas rectas, siendo iguales y por lo tanto (אַבקד)=(אַבקד)

¿A qué llamamos cuaterna armónica?

Cuando el valor de la razón doble es “-1”, ניימלי, la unidad negativa, decimos que los elementos de la cuaterna (אַבקד)=(אַבקד)=-1 determinan una cuaterna armónica, y en consecuencia los dos primeros elementos, puntos o rectas, separan armónicamente a los dos últimos de cada cuaterna, ניימלי:

• און (אַבקד)=-1 entonces “א” און “ב” separan armónicamente a “C” און “ד”
• און (אַבקד)=-1 entonces “אַ” און “ב” separan armónicamente a “C” און “די”

En el cuadrivértice podemos encontrar estas relaciones.

Si nos fijamos en la siguiente figura, מיר זען אַז (אַבקד)=(אַ'ב'ק'ד ') por ser secciones de un mismo haz de vértice V2, pero a su vez, (אַבקד)=(B’A’C’D’) por ser secciones del haz de vértice V1.

De lo anterior se deduce que (אַ'ב'ק'ד ')=(B’A’C’D’), pero como (אַ'ב'ק'ד ')=1/(B’A’C’D’) ya que al permutar A’ y B’ se invierte el cociente de las ternas que determinan, concluimos que (אַבקד)=(אַ'ב'ק'ד ')=(B’A’C’D’) sólo puede tener módulo unitario.

דערצו, די טריפּלאַט (ACD) debe ser positiva por estar C y D al mismo lado respecto de A, y la terna (BCD) debe ser negativa por encontrarse B entre C y D.

De las dos últimas conclusiones se deduce que (אַבקד)=(ACD)/(BCD) =-1 y en consecuencia la relación es armónica tanto para los puntos como para las rectas.

Dos lados de un cuadrivértice separan armónicamente a las diagonales que concurren en el punto diagonal que determinan

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