Polar de un punto respecto de dos rectas

El concepto de polaridad se encuentra ligado al de separación armónica.

Este concepto es básico para la determinación de los elementos fundamentales de las cónicas, como su centro, diámetros conjugados, ejes ….

Permitirá establecer nuevas transformaciones entre las que se incluyen homografías y correlaciones de gran importancia.

Podemos ver diferentes definiciones asociadas a los conceptos que veremos a continuación, centrándonos en este caso en la determinación de la recta polar de un punto respecto de dos rectas dadas.

Recordaremos que dados cuatro puntos א, ב, C און ד, situados sobre una recta, podemos definir la razón doble de estos cuatro puntos (אַבקד) como el cociente de las razones simples (ACD) און (BCD). La razón doble la estudiamos al definir las קוואַדרופּלעס פון זאכן באפוילן mientras que la razón simple fue formulada en la introducción a באפוילן טריפּאַלז פון עלעמענטן.

Análogamente definíamos la razón doble de cuatro rectas, representado como (אַבקד), y relacionábamos esta razón doble con la de los puntos obtenidos al seccionar estas rectas, siendo iguales y por lo tanto (אַבקד)=(אַבקד)

¿A qué llamamos cuaterna armónica?

Cuando el valor de la razón doble es “-1”, ניימלי, la unidad negativa, decimos que los elementos de la cuaterna (אַבקד)=(אַבקד)=-1 determinan una cuaterna armónica, y en consecuencia los dos primeros elementos, puntos o rectas, separan armónicamente a los dos últimos de cada cuaterna, ניימלי:

• און (אַבקד)=-1 entonces “א” און “ב” separan armónicamente a “C” און “ד”
• און (אַבקד)=-1 entonces “אַ” און “ב” separan armonicamente a “C” און “די”

Este mismo texto lo usábamos para analizar las relaciones armónicas en el cuadrivértice completo, relaciones que serán muy útiles ahora para la determinación de la polar de un punto respecto de dos rectas.

עס אַ פונט פּ y dos rectas “אַ” און “ב” que no le contienen.

Seccionemos a las rectas “אַ” און “ב” por una recta cualquiera que pase por “פּ“. Esta recta cortara en los puntos “א” און “ב” a las rectas anteriores. Sea el punto “פּ’” un punto situado entre “א” און “ב“, de forma que (PP’AB)=-1, ניימלי, אַז פּ און פּ’ separen armónicamente a los puntos א און ב

Definiremos a la polar del punto P respecto de las rectas “אַ” און “ב” al lugar geométrico de los infinitos puntos como el P’ que separan armónicamente a los puntos de intersección, און דער ב, de las rectas que pasan por P con “אַ” און “ב”.

פונט פּ’ se puede obtener mediante un cuadrivértice completo. Vemos al realizar la construcción que la recta “פּ” que pasa por פּ’ און די פונט איך de intersección de “אַ” און “ב” cumple las condiciones de este lugar geométrico, ya que sería la diagonal de un cuadrivértice en los que el punto פּ און פונט איך son puntos diagonales.

• Al punto פּ le denominaremos Polo de la recta p
• א גלייך פּ le denominaremos polar de P, די polar del punto P

Los puntos פּ און פּ’ son conjugados respecto de las rectas אַ און ב. Todos los puntos de la recta p son conjugados respecto del punto P. Al buscar la polar respecto de cualquiera de ellos debe de pasar por P.

פּראָדזשעקטיווע געאָמעטרי