Metric γεωμετρία : Γενίκευση της έννοιας της “Δύναμη”

Ο concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia.

Δίνoνται oι τιμές αυτές απόσταση στη συμβολοσειρά που περιέχει το κέντρο στην περιφέρεια και το σημείο, δηλαδή, en el diámetro que contiene a dicho punto.

¿Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P?

La potencia Σε de un punto P respecto de una circunferencia γ es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P a la circunferencia γ.

Δύναμη ενός σημείου σε ένα κύκλο

Si consideramos dos rectas que pasan por un punto P y seccionan a una circunferencia γ, los puntos de corte con dicha circunferencia (Α, B, C και D) determinan dos triángulos semejantes:

• PAD
• PCB

Generalizacion del concepto de potencia

Πράγματι, al aplicar los conceptos de τόξο ικανά ενός τμήματος, vemos que los ángulos en B και D deben ser iguales por ser inscritos en la circunferencia que pasa por los cuatro punto. Por otro lado los triángulos comparten el vértice P y por lo tanto su ángulo, y en consecuencia son semejantes.

Aplicando el Thales θεώρημα a los dos triángulos semejantes tendremos que:

PA/PD = PC/PB

y por lo tanto

PA * PB = PC * PD = Constante

Lo que demuestra que la potencia desde el punto P es independiente de la recta elegida, como queríamos demostrar.

Metric γεωμετρία