De las diferentes soluciones que se pueden dar al problema propuesto de obtención de circunferencias con condiciones angulares ( que pasan por un punto, son tangentes a una circunferencia y forman un ángulo con una recta), vamos a analizar aquella solución que utilice la aplicación de los conceptos de potencia utilizados en el “Problema Fundamental de Tangencias” ( PFT ).
Posteriormente podremos analizar caminos específicos a este problema concreto que pudieran simplificar su trazado o conceptualización geométrica.
En este último sentido cabe destacar que una construcción geométrica dada, un conjunto de líneas, pueden interpretarse de diferentes formas atendiendo al razonamiento abstracto aplicado al problema.
La búsqueda de modelos generalistas puede ser el primer paso formativo de un geómetra.
Sobre la modificación del enunciado del problema
El primer paso, aplicando el método lógico geométrico o metodología de trabajo expuesta, consistirá en cambiar las condiciones geométricas del problema por otras que sean equivalentes.
De forma general, trataremos de imponer condiciones idénticas cuando se trate de restricciones angulares para convertir las restricciones en “isoangularidad”. En este caso, cambiaremos la condición de formar un ángulo de 45º con una recta por la de ser tangente a otra, ya que tenemos una condición de tangencia respecto de la circunferencia. Vemos que el enunciado cambiará a:
Determinar una circunferencia que es tangente a una recta y una circunferencia y pasa (es tangente) por un punto.
De forma análoga se podía haber cambiado la condición de tangencia por una angular a 45º, aunque este concepto ahora parezca más complejo y no sea el camino empleado.
Grafo inicial con los datos del problema
Enunciado modificado equivalente
En efecto, si la circunferencia buscada forma un ángulo con la recta r, su tangente t en el punto de contacto debe formar ese ángulo con r, tal y como vimos al definir el ángulo entre recta y circunferencia.
Nuestro problema consistirá por tanto en determinar una circunferencia tangente a otra y a una recta en uno de sus puntos.
Enunciado modificado con condiciones de isogonalidad (Apolonio)
El problema de isogonalidad que queda es una de las variantes del conocido como “Problema de Apolonio” que proponía la determinación de una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas.
¿Tres circunferencias? En efecto, el punto de paso puede ser considerado como una circunferencia de radio cero (nulo) y la recta “t” otra de radio infinito. Este tipo de razonamiento permite agrupar por lo tanto este problema en otro más general de forma sencilla, como planteábamos al principio.
Su solución puede por tanto deducirse del modelo general, con la correspondiente generalización, o pueden incluirse simplificaciones debido a la naturaleza de las restricciones.
Planteamiento de la solución particularizada
Las circunferencias tangentes a la recta t en el punto P tendrán su centro en una recta perpendicular a t por el punto P. Determinan un haz parabólico de circunferencias con eje radical la recta t.
La recta s es el lugar geométrico de los centros de circunferencias que son tangentes a la recta r en el punto P.
Por último determinaremos el centro de la circunferencia solución (azul) que completa el problema. Para ello determinaremos la circunferencia que es tangente a la recta t en el punto P y es tangente a su vez a la circunferencia c1,
Si determinamos una circunferencia cualquiera que sea tangente a la recta t en el punto P y que corte a la circunferencia c1 en un par de puntos (A y B), estaremos obteniendo una de las circunferencias del haz parabólico mencionado.
El punto “I” de intersección de la recta A–B y la recta t es el centro radical de las circunferencias tangentes a t y que pasan por A y B, teniendo por tanto igual potencia respecto de todas ellas. Este valor de potencia es la distancia al punto P de tangencia al cuadrado, y permite por tanto determinar el punto T de tangencia en c1.
Faltaría el análisis del número de soluciones al problema genérico de determinar circunferencias que formen un ángulo con la recta, pasen por un punto y sean tangentes a la circunferencia. De las posibles soluciones que vendrán siempre en parejas, deberemos elegir aquella que se adapte al croquis determinado en el enunciado.
En general, en un problema de tangencias respecto de tres circunferencias, (problema de Apolonio), tendremos hasta 8 soluciones. En este caso se limitan a dos al degenerar una circunferencia en recta y otra en un punto.
¿Puedes resolver este ejercicio con otro modelo diferente? Mejor que hacer muchos ejercicios iguales, planteate resolver el mismo de muchas formas diferentes !!!
Los conceptos de inversión son de especial aplicación en estos problemas, como se ha visto en la “Aplicación a la resolución de problemas de tangencias y angulares”
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