Metrische Geometrie : Anlagestrahl Umfänge

Al estudiar la Investitionen in der Ebene analizamos la transformación de los elementos geométricos básicos (recta y circunferencia) en dos casos diferentes, cuando el centro de inversión se encontraba sobre ellos o en un punto cualquiera que no les pertenecía.

La transformación mediante inversión de elementos agrupados en formas geométricas puede tener interés para usar la inversión como herramienta de análisis en problemas complejos. En este caso estudiaremos la transformación de los “haces de circunferencias corradicales” mediante diferentes inversiones que los transformen. Más adelante necesitaremos estas transformaciones para resolver el problema de “Apolonio” (circunferencia con tres restricciones de tangencia) o la “Generalización del problema de Apolonio” (circunferencias con tres restricciones angulares).

Transformación de la circunferencia por inversión

Si consideramos que una recta puede ser una circunferencia de radio infinito, generalizando, concluimos que en cualquier caso una circunferencia se transforma mediante una inversión en otra circunferencia.

Vimos que ambas circunferencias estaban relacionadas también mediante una homotecia de centro el de inversión. En la figura el punto I es centro de una inversión positiva que transforma la circunferencia c en la circunferencia c’. La potencia de inversión se ha representado mediante la circunferencia de autoinversión Ck cuyo radio es la raíz de dicha potencia. Die Punkte A und A’ son elementos inversos pero no son homotéticos mientras que los de tangencia desde el centro de inversión, T und T’, son los únicos que son a la vez inversos y homotéticos con centro el punto I.

En su momento vimos que los centros de las circunferencias inversas se encuentran alineados con el centro de inversión y que, aunque son homotéticos en las homotecias que relacionan a las circunferencias, no son inversos en la inversión.

Inversión del Haz Parabólico.

Los haces de circunferencias corradicales de tipo parabólico son los formados por aquellas circunferencias que son tangentes entre sí en un mismo punto. Este punto pertenece al radikale Achse de todas ellas y tiene potencia nula respecto de cualquier circunferencia del haz al pertenecer a todas ellas.

Si consideramos las circunferencias tangentes en el punto “A” a la circunferencia c que hemos invertido antes, ihre Transformationen durch den Punkt A passieren’ die A und als Schnitt nur an diesem Punkt auf den Umfang c umgewandelt (seine Tangente) nur in dem transformierten A geschnitten’ der Umfang c’ umkehren, so wird Tangenten und wieder eine parabolische Strahl bestimmt.

Der Umfang des ursprünglichen Strahls durch die Mitte Investition vorbei wird eine Tangente an die in Punkt A umgewandelt Strahl werden’ und, deshalb, in seiner radikalen Achse.

Durch die Investition mit der Investition Mittelpunkt, die für alle umgewandelt werden eine Reihe von parallelen Linien zueinander und senkrecht zur Basislinie des ursprünglichen Strahls sein, als das Inverse eines Kreises mit der Anlagezentrum enthält, ist eine gerade Richtung senkrecht zum Durchmesser des Umfangs durch das Zentrum Anlage.

Machen Investition elíptico

Los corradicales Strahl Umfänge elliptischen Typ Sie werden von den Umfängen gebildet durch zwei gemeinsame Punkte auf den gesamten Abblendlichts. Diese Punkte genannt “Eckpunkte des Strahls” sie gehören zu radikale Achse Leistungsträger und haben keinen Respekt im Umfang des Strahls zu allen von ihnen zu gehören.

Analog zu dem, was wir für den parabolischen Fall gesehen, die durch zwei Punkte alle Umfänge ihrer Anlage umgewandelt Strahl den beiden inversen Punkte der oben durchlaufen und damit einen neuen elliptischen Strahl Umfänge wird bestimmen,

Die radikale Achse und der Strahl wird zu einem Kreis und’ die durch die Mitte Investition.

Durch die Investition ein Investment Center der Punkte, die für alle von ihnen (wesentliche Punkte) transformiert wird eine Reihe von geraden Linien, die durch die Umkehrung des anderen gemeinsamen Punkt passieren, die keine Anlagezentrum.

Wir sehen also, dass in ein Bündel von geraden verwandeln.

Machen Investition hyperbolische

Los corradicales Strahl Umfänge der hyperbolischen Typ Sie werden von den Kreisen gebildet, die keinen gemeinsamen Punkt haben, ihre Mittelpunkte liegen auf einer geraden (Basierend Strahl) und haben ein radikale Achse gemeinsam. Umfänge kleineren Durchmesser haben Radius Null (Doppelpunkt, L1 und L2) Stückelung von “begrenzt die Strahlpunkte“.

Durch das Studium sah diese Strahlen die Grenzen der hyperbolischen Strahlpunkte die Eckpunkte des elliptischen Strahl konjugiert waren.

Diese Beziehung zwischen den hyperbolischen und elliptischen Strahlen können wir ableiten, dass ein Strahl hyperbolischen durch eine Investition umgewandelt werden verwandelt sich in eine andere Strahl hyperbolische Punkte, deren Grenzen Punkte transformiert begrenzt ursprünglichen Strahl.

Tatsächlich, wenn wir verwandeln die beiden Grenzpunkte zwei neue inverse Punkte der oben geworden. Der elliptische Strahl die durch sie wird einen elliptischen Strahl wird durch den transformierten passieren und, wie die Transformation als (hält die Winkel), hyperbolischen Strahl, der auf dem elliptischen gekoppelt ist, wird in einen neuen Strahl umgewandelt werden sollten, um das Inverse des elliptischen orthogonal.

Von besonderem Interesse ist die Anlagegrenzen einer der Mittelpunkte.

Die Figur repräsentiert einen Strahl corradical hyperbolische Punkte mit Grenzen L1 und L2, deren Umfänge sind auf der Basislinie b zentriert, teilen die radikale Achse und y an den Umfang des Mittelstrahls orthogonal Strahls orthogonal sind (intersección de la recta base y el eje radical). Esta circunferencia pasará por los puntos límites.

Si tomamos como centro de inversión uno de los puntos límites, por ejemplo L2, con una potencia cualquiera, el otro punto límite se transformará en un nuevo punto, L1′, y la circunferencia que pasa por los puntos límites, L1 und L2, perteneciente al haz conjugado del haz hiperbólico se transformará en una recta que pasará por L1′ inverso de L1.

Como todas las circunferencias del haz hiperbólico son ortogonales a esta circunferencia, sus inversas lo serán a la recta inversa de ella, por lo que tendrán que tener su centro en esta recta.

Por otra parte como los centros de las nuevas circunferencias inversas tienen que estar alineados con los centros de las circunferencias originales y el centro de inversión, al estar este centro de inversión en la recta base, las nuevas circunferencias inversas de las del haz deberán tener su centro en la recta base.

Nämlich, las circunferencias inversas deberán tener su centro en la recta base y en la recta transformada de la circunferencia que pasa por L1 y L2. La intersección de estas rectas es el punto L1′ inverso de L1, por lo que el haz de circunferencias se convierte en un conjunto de circunferencias concéntricas.

Veremos el interés de estas transformaciones al aplicarlas en la resolución de problemas de tangencias o angularidad.

Otras inversiones de interés.

Cabe destacar en todos los casos, haces elípticos, parabolische und hyperbolische, el interés que tiene usar un punto del eje radical como centro de inversión y potencia la de este punto respecto de las circunferencias del haz. En este caso el haz se transforma en sí mismo. Se deja al lector el análisis gráfico de este interesante caso.