Une recommandation que je fais toujours mes élèves est d'essayer de résoudre le même problème de différentes façons, au lieu de plusieurs fois les mêmes problèmes avec les déclarations presque similaires.

Dans un de mes derniers cours nous avons proposé d'obtenir l'inverse d'un point, un investissement dans le centre et la puissance est connue. La déclaration proposée est la suivante:

Depuis la place de la figure, dans lequel un sommet est le centre d'inversion et dont le sommet opposé est un point double, la détermination de l'inverse du point A (sommet adjacent).

Podemos buscar diferentes construcciones que se basen en los conceptos utilizados tanto en la géométrie métrique comme dans le géométrie projective. Iniciaremos el estudio inicialmente con cinco soluciones de naturaleza métrica.

Inversión en el plano

Empezaremos por recordar la relación métrica entre dos puntos inversos, estudiada en el capítulo de “Inversión en el plano“.

1. La inversión es una transformación con centro. Cada punto A y su transformado A’ están alineados con el centro de inversión Je.
2. El producto de distancias del centro de inversión a un punto y a su transformado es constante y se denomina potencia de inversión. IA*IA’=cte.

En el ejercicio propuesto, al conocerse un punto doble, conocemos la potencia de inversión que es el valor de la diagonal al cuadrado. Todos los puntos de una circunferencia de centro el de inversión y de radio la raíz de la potencia (diagonal del cuadrado) serán puntos dobles. Esta circunferencia se conoce como “circonférence autoinversión”

1 Cathéter théorème

El primer modelo propuesto se basaba en uno de los teoremas más usados en Géométrie métrique, le “Teorema del Cateto”.

Le Cathéter théorème nos permite relacionar mediante una media proporcional el cateto de un triángulo rectángulo con su proyección sobre la hipotenusa y el producto con ella.

Cathéter théorème

Si se considera al segmento IT como cateto de un triángulo rectángulo y al segmento IA como proyección de este cateto, al obtener la perpendicular por T se obtiene el punto A’ siendo IA’ la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

2 Cathéter théorème

A partir de este mismo concepto podemos realizar una nueva construcción en la que determinemos el arco capaz de 90º que va a soportar al triángulo rectángulo. Este arco capaz sobre el segmento buscado IA’ lo obtendremos ya que es una semicircunferencia que pasa por los puntos Je y T, y tiene su centro en la recta IA. Determinaremos la mediatriz del segmento IT (que pasará por el punto A en este caso particular al ser la diagonal de un cuadrado) y de terminaremos el centro del arco capaz sobre la recta IA.

3 Concepts électriques

Le potencia de un punto respecto de una circunferencia, que definimos como la mayor por la menor distancia del punto a dicha circunferencia y que es igual al segmento de tangencia (desde el punto a la circunferencia) carré, nos permite obtener nuevas construcciones.

En la figura vemos cómo el segmento de tangencia “l” es media proporcional entre “m” y “n”.

Para la nueva construcción determinaremos una circunferencia en la que IT es el segmento de tangencia y debe pasar además por el punto “A“, por lo que su centro estará en la intersección de la recta perpendicular a “I-T” par “T“, con la mediatriz de “A-T”

4 Concepts électriques: Antiparallelism

Le concept de puissance d'un point sur un cercle est basé sur le produit de la plus grande à la plus petite des distances d'un point à un cercle.

Ces valeurs de distance sont données sur la ligne contenant le centre du cercle et le point, à savoir, de diamètre contenant ledit point. Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P, como hemos visto en la “Generalización del concepto de potencia“.

Appliquant Théorème de Thalès a los dos triángulos semejantes (PAD y PCB ya que comparten el ángulo en P y por ángulos en la circunferencia, arc en mesure, son iguales en B y D) obteníamos que:

PA / PD = PC / PB

et donc

Pennsylvanie * PB = PC * PD = Constant

Lo que demostraba que puissance du point P est choisi indépendant de la ligne, car nous voulions démontrer.

Las rectas AB y CD son antiparalelas de AD y CB formando dos a dos los mismos ángulos.

En nuestro caso la recta I-T-T’ y la I-A-A’ serán antiparalelas de A-T’ y A’-T, siendo en este caso un ángulo recto el que forman dos a dos.

5 Investissement d'une ligne

Al invertir figuras hemos visto que la inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que si pasa por este punto, cuyo centro se encuentra en la perpendicular a la recta desde el centro de inversión.

La inversa del segmento A-T será un arco de circunferencia cuyo centro se situará sobre la recta I-A, y pasará por el centro de inversión “Je” así como por el punto doble “T-T»”

Las 5 primeras soluciones son de naturaleza métrica. Veremos otras 5 utilizando los conceptos de la geometría proyectiva en el siguiente enlace.

(próximamente en este enlace ….) Solución proyectiva de la obtención del inverso de un punto

Géométrie métrique