Géométrie métrique : Inversión en el plano

L'investissement est un transformation homográfica en conservant les relations angulaires (régler).

Son application principale est la détermination des problèmes de géométrie, y compris les conditions angulaires sont des exercices de résolution de tangence.

Il est basé sur les concepts de puissance; est un transformation involutive éléments qui peuvent être à double en cas de puissance positive.

Transformer définition

L'investissement est un Centre de traitement. Cela signifie que Point transformé et sont alignés avec le centre d'inversion, de façon analogue à la transformation dite homotecia.

La relation entre les positions relatives de chaque point et le centre de l'investissement transformé a comparé basé sur le concept puissance.

Compte tenu d'un centre “Je“, et une paire de points inverses “P” y “P’“, le produit des distances ces points le centre d'investissement est constant et est appelé Alimentation inversion.

IP * IP’ = IQ * IQ’ = K * K =

Si la puissance de l'investissement est positif, pointer et sont transformés sur le même côté du centre d'inversion. Les points qui sont à distance K du centre sont en double. La circonférence du rayon de la racine de la puissance, valeur K, est le double de points et doubles, libeller circonférence autoinversión.

Deux points et leurs inverses sont concíclicos

Si la puissance est négative, le centre d'inversion est situé entre chaque point et son transformé. La circonférence est cascade auto-inversion double, mais pas de points.

Inversion des éléments

points de l'étude de l'investissement ainsi que quatre cas possibles de transformation, deux de la ligne et deux pour la circonférence, dans lequel le centre d'inversion peut être dans n'importe quelle position sur l'élément géométrique ou située sur lui.

• Lignes contenant le centre d'inversion
• Les lignes qui ne contiennent pas le centre d'inversion
• Cercles contenant le centre d'inversion
• Cercles qui contiennent le centre d'investissement

Inversion point

Des points d'investissement peuvent être résolus par constructions électriques ou appelé théorèmes de pieds et la hauteur.

Investissement puissance positive

Dans ce cas, l'un des points à l'intérieur de la circonférence est auto-inverseuse et l'autre externe ( ou doubles et sont sur son), mais du même côté par rapport à Je. Nous pouvons appliquer la Cathéter théorème en utilisant l'auto inversion circonférence comme on le voit dans la figure.

Investissement positif

Le Concepts électriques nous permettent d'assurer que deux points et leurs inverses sont concíclicos (sont sur une même circonférence qui est le double de l'investissement et de couper orthogonalement à la même).

Inverser puissance négative

Une inversion négative peut être obtenue par une puissance égale positif (modulo) plus symétrie centrale. Appliquant hauteur théorème déterminer les paires de points inverses.

Inversion négative

Les points diamétralement opposés sur la circonférence sont inverse auto-inverseur.

axes d'investissement contenant des investissements

Ce cas est simple puisque, par la définition de la transformation, l'inverse de chaque point est aligné avec ce point et le centre d'inversion et donc l'inverse de la ligne, si elle contient le centre d'investissement, est la ligne elle-même.

Investissement d'une ligne

Inversion des lignes qui ne contiennent pas le centre d'inversion

cercles d'investissement contenant le centre d'inversion

Ces deux cas peuvent être étudiés ensemble car la transformation est involutive et, comme on le verra, la INVESA d'une ligne qui contient le centre d'inversion est un cercle qui le contient et réciproquement.

Comme deux points et leurs inverses sont concíclicos les lignes joignant deux points et leurs inverses sont des liens antiparallèle des lignes reliant chaque point de soutien et son inverse (deux à deux le même angle). Dans la figure, le PQ de ligne forment un angle alpha avec le QQ droite’ qui est identique à la ligne droite P'Q’ PP '.

Antiparallelism

En investissant un cercle passant par le centre d'inversion et un point P, son inverse passera le P transformée ». Si nous investissons un autre point Q sur Q’ nous voyons que l'angle Q montre la figure doit être droit à être inscrit dans un demi-cercle. Par conséquent, la P'Q segment’ doivent former un angle droit avec la ligne PP’ et est nécessaire pour être dans la ligne c '. Répétant cette opération pour les points infinis du cercle aller droit c’

Hétéro inversion circonférence

Ainsi:

L'inverse d'un cercle passant par le centre d'inversion est une ligne qui ne passe pas, direction perpendiculaire au diamètre qui contient le centre d'inversion.

Comme la transformation est involutive:

L'inverse d'une ligne ne passant pas par le centre de l'inversion est un cercle centré sur la perpendiculaire à partir du centre de l'investissement que de la ligne.

cercles d'investissement qui ne contiennent pas le centre d'inversion

En étudiant l' transformation par homotecia ont vu que deux cercles coplanaires peuvent être reliés par deux centres différents. Dans la figure montre le centre Je l'établissement d'un rapport de dilatation postive dans lequel T y T’ sont homologues, comme P y Q’ o bien Q y P’. La raison est donc homothétique:

IT / IT’ = IP / IQ’ = IQ / IP’ = Kh

De l'autre côté, power point Je autour de la circonférence c c'est:

W = IP * IQ

Divisant le rapport de puissance par l'homothétie:

W / Kh = IQ * IQ’ = Cte

Nous voyons que les deux cercles sont centre inverse Je et la puissance W / Kh

Inverse d'un cercle

Donc:

L'inverse d'un cercle qui ne passe pas par le centre du cercle est une autre inversion, étant le centre de centre d'inversion qui concerne homotecia.

Lorsque le centre de la dilatation est en dehors des cercles de puissance valeur est positive, de sorte que l'inversion de signe de la puissance correspondant à la centres homotecia. Sin embargo, si le centre de la dilatation est à l'intérieur des cercles, le signe est inversé.

Lorsque le centre d'homothétie est situé sur la circonférence, à la puissance zéro, ne peuvent pas être considérées comme des investissements.

Notez que bien que les centres des cercles sont homologues, ne sont pas inverses.

Inverse O’ centre O une circonférence c qui ne passe pas par le centre d'inversion est la promenade du centre de l'inversion polaire pour circonférence inverse c’.

Conformité de la transformation

A transformation est positif si l'angle de deux éléments est le même que les éléments formant le transformées. L'investissement est une transformation conforme de sorte qu'il est très utile dans la résolution des problèmes avec les conditions angulaires.

Le antiparallelism entre les lignes reliant deux points et leurs inverses, pour lequel chaque joindre avec son inverse est la base de la manifestation.

Les lignes reliant quatre points d'un cercle, le bruit de la antiparallèle

C supposant une courbe passant par deux points P y Q. Segment PQ est une corde de la courbe. Limite, lorsque nous comparons des points P y Q, corde devient tangente à la courbe en ce que:

L'angle entre la tangente à une courbe en un point P avec la ligne contenant le point et son inverse, est le même que celui formant la tangente inverse de la courbe.

Une courbe et son inverse forment le même angle avec la ligne de jonction de chaque paire de points inverses

Eux-mêmes aux courbes, stockées respectivement à des tangentes des angles nous concluons que:

L'angle entre les deux courbes est la même que celle formée par la courbe inverse, por lo que investissement est conforme.

Conformité à l'investissement

L'application de la résolution de problèmes peut se faire de deux manières différentes conceptuellement:

• Simplifier les données de problème.
• Simplification de la solution recherchée.

Nous allons voir une nouvelle entrée discussion en profondeur sur ces deux modèles d'analyse, aplicándolos un angularidad de problème.

Géométrie métrique

Liens externes

• Inversión en el plano (W)
• Les immeubles de placement (applet interactif gaussien)