Géométrie métrique : Homotecia

Transformations - homotecia

Le homotecia est un transformation homográfica qui préserve les relations de mesure entre chaque paire de segments homothétique ou homologue.

Elle préserve le parallélisme entre la ligne et sa transformée, détermine et maintient des chiffres similaires aux relations angulaires (régler).

Son application principale est la détermination des problèmes de géométrie avec des ratios de la région en chiffres similaires; Il est également utile pour résoudre certains exercices tangentes.

Deux figures semblables ont la même forme et la zone différente

Homotecia

Il est basé sur les concepts de similitude que nous avons vu dans le théorème de Thalès; Il n'est pas une transformation involutive et ne peut pas avoir deux éléments sauf le centre. Il appartient au groupe des transformations affines.

Transformer définition

La dilatation est l'un Centre de traitement. Cela signifie qu'un point et sa transformation sont alignés avec le centre de dilatation ou de la similitude, De même, à la transformation, connu comme un investissement qui sera par la suite.

La relation entre la position relative de chaque point et sa transformée par rapport au centre de dilatation sont basées sur la notion de similitude.

Compte tenu d'un centre “H“, et un couple de points homologues “P” y “P’“, le ratio des distances ces points Centre homothétique est constant et est appelé raison de la dilatation.

HP / HP’ = AC / HQ’ = HT / HT’ = K

Circonférences homothétique

Homothétique entre les centres des deux cercles

Reliant les deux cercles par le biais de cette transformation est d'un intérêt particulier pour l'application à des problèmes de tangencies, comme pour la nouvelle étude de toute autre transformation: investissement.

Si nous supposons que les deux circonférences sont homothétiques, les points sur les rayons parallèles doivent être homologues. Selon la direction de la radio, nous aurons des transformations de raison positive (les deux radios dans la même direction) ou négatif (sens différent). Centres de positifs, H , et négatif, H-, ils devraient être sur les lignes droites qui lient chaque paire de points homologues (A.-A.’) ainsi que sur la ligne joignant les centres des cercles sont également homothétique.

Homothétique centres de deux cercles 1

Nous pouvons voir comment dans certaines positions certains des centres homothétiques peuvent être placée sur des circonférences propres, comme c'est le cas dans lequel ils sont tangents entre eux.

Homothétique centres de deux cercles 2

Si l'on est à l'intérieur de l'autre verra que également l'autre centre de dilatation est intérieure à deux circunferencis.

Homothétique centres de deux cercles 3

Application de l'homothétique aux tangencies

Une des applications possibles de cette transformation est la détermination des cercles avec conditions de tangence sur deux lignes.

Supposons que l'exercice suivant:

Déterminer la tangente de cercles à deux droites et qui passent par un point P

Homotecia - Problème de tangencies

Si nous supposons que le point d'intersection des lignes tangentes est un centre homothétique, H, Nous pouvons convertir la circonférence que nous recherchons avec n'importe quelle raison de circonférence un autre qui doit être tangent à ces droites. Pour effectuer cette transformation, on choisira soit un rayon pour ce nouveau périmètre

Homotecia - Problème de tangencies

Point d' P Vous devez avoir un point homologue, P», dans la nouvel tour. Ce point sera à l'intersection de cette circonférence auxiliaire et la ligne droite r en passant P et au Centre H homothétique (Notez qu'il peut y avoir un autre point d'intersection de r avec c’, valable pour une seconde solution).

Homotecia - Problème tangencies résolu

Solution de centre de la circonférence déterminer quel obtenir l'équivalent de radio de qui passe par P’, vous passerez par le point P et doit être parallèle à la précédente.

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