Apolônio e seus dez problemas

Um dos artigos mais completos que escreveram meus alunos nas aulas de geometria está descrevendo a forma de resolver o chamado “Problemas de Apolônio”.

Determinando vir circunferências linear ou restrições geométricas definidas pelas tangentes são baseados em uma família de problemas geométricos de grande interesse.

O grupo “AG-Nós não somos caipiras” introduz-nos corretamente e rigor nesta questão. Publicado inicialmente aqui, pertencente ao grupos de experiência “Blogs experimental”, Artigo literalmente transcrever, adicionando alguns links no texto que complementam. Graças Diego, Alice, Clara, Sara e Sergio

Apolônio e seus dez problemas

Biografia:

Antes de desenvolver as teorias e problemáticas Apolônio vamos apresentar uma breve biografia Apolonio.

Apolônio matemático grego nasceu em Perge(262 A.C.- 190 A.C.),era um aluno de Archimedes. Nem se sabe sobre sua vida, exceto para as apresentações feitas no alguns dos seus tratados de que é composta a sua grande obra “A cônica” utilizado nos primeiros termos: “elipse, parábola e hipérbole“. Ele também descobriu e descreveu o “Epiciclos” com que Ptolomeu usaria para explicar o movimento dos planetas. Segundo os historiadores Apolônio teve um caráter irascível, que fez um tratamento difícil.

Entre as obras de Apolônio de Perga posição geométrica “Os Planos Locais” onde as operações são conduzidas as coisas mais importantes para se conhecer no desenho geométrico com uma linguagem moderna e geometria analítica perto como: dilatação, tradução, investimento, rotação e semelhança.

Uma das principais contribuições para a geometria de Apolônio é a proposta de problemas sistémicos tangências, que estão resumidas na seguinte declaração:

"Dado três objetos que podem ser, cada um deles, pontos, retas ou circunferências, desenhar um círculo tangente a três ".

Os diferentes problemas tangentes resultantes de trocar esses elementos dão origem aos estudos de casos conhecidos de geometria clássica, com as diferentes soluções propostas que têm sido desenvolvidos ao longo da história.

Suporte 10 casos:

• três pontos,
• três linhas,
• dois pontos e uma linha,
• duas linhas e um ponto,
• cólon e uma circunferência,
• dois círculos e um ponto,
• duas linhas e um círculo,
• dois círculos e uma linha,
• ponto, uma linha e um círculo
• Tres circunferências.

Outras contribuições fundamentais de Apolônio, são de secções cónicas.

Cónicas eram conhecidos como Apolônio realizado o estudo destes, mas seu tratado se move sobre as outras teorias. Anteriormente acreditava-se que Apolônio da hipérbole, a parábola, e as secções da elipse foram obtidos a partir de diferentes cones de acordo com o ângulo de vértice.

Assim, Apolônio demonstrado que estas curvas podem ser obtidos a partir das mesmas secções de um cone, Variando a inclinação do plano que intersecta esta. Além certificando que o cone não tem de ser um cone direito, pode ser circular, escaleno ou oblíqua.

Além curvas cónicas têm propriedades interessantes.

Uma das mais importantes Apolônio descobertos são as propriedades de reflexão.

Reflexão da parábola: se não houver uma fonte de luz distante, com um espelho parabólico, de modo que os raios incidentes são paralelos ao eixo do espelho, em seguida, a luz reflectida pelo espelho é focado sobre o foco.

Diz a lenda que Arquimedes, contemporâneo de Apolônio, usar essa propriedade para defender Siracusa dos romanos queimaram os navios destes. Por esta, produziu um sistema de espelhos parabólicos que concentram a luz solar entrou pelos navios romanos.

Hoje, a propriedade tem diversas utilidades, tais como: sistemas de radar, Antenas de TV ou espelhos solares, designadamente.

Reflexão da elipse: se uma fonte de luz colocada no foco de um espelho elíptico, em seguida, a luz reflectida no espelho é concentrada no outro foco.

Você dizer, Se um raio de um foco, sendo refletida pelo feixe de elipse seguir um caminho que passou por outro foco.

Com base nesta propriedade, podemos ver que, se temos uma mesa de bilhar com elíptica, e lançou a bola de um foco, com qualquer direção, este salto com mesa de jogos e ir até o outro foco.

Se a bola quicando vai continuar até o primeiro foco, e assim por diante, llagase até um momento em que a trajetória da bola iria ser confundido com o semi-eixo maior da elipse.

Se em vez disso, jogar a bola de qualquer ponto que não seja um foco não era uma linha que conecta, segmentos da figura trajetória da bola descrever outra elipse.

E, inversamente, se o ponto de partida foi a bola num ponto da linha que liga os focos, isso vai tirar o envelope de uma hipérbole com os mesmos focos.

Construção é quartos teto elípticas curiosos. Quando fazendo um som a partir de um foco, isso vai soar com grande clareza do outro foco. Além disso, o som terá o mesmo tempo para se espalhar de um foco para outro, independentemente da direção que tomamos para a transmissão. Este efeito também permite o isolamento acústico de ambientes.

Reflexão da hipérbole: raios provenientes de um dos focos de uma hipérbole são reflectidas de modo a que os raios reflectidos parecem vir de outra fonte.

Esta propriedade foi utilizada para a criação de LORAN, que é um dispositivo de navegação hiperbólica de rádio que tenha sido utilizado e ainda é usado, Claramente, a um menor grau, devido ao surgimento de GPS e outros sistemas, para fixar a posição de navios e aeronaves.

Baseia-se no cálculo da diferença de tempo obtido em um receptor de sinais provenientes das duas estações transmissoras localizadas na superfície terrestre.

Como o posicionamento é realizado em duas dimensões, Se você sabe a diferença das distâncias para as duas estações pode localizar o lugar geométrico dos pontos, onde você pode encontrar o barco ou avião, que é uma hipérbole, cujo focos são as estações.

Sabendo que a intersecção de duas ou mais hipérboles é possível definir a posição do avião ou barco.

OS DEZ PROBLEMAS Apolonio

Então, vamos tratar 10 problemas fundamentais de Apolônio, os quais são baseados na tangência entre linhas e círculos.

Vamos começar falando sobre o seu principal problema, a partir do qual todos os outros casos resolvidos, ou seja, em última análise, ser reduzido a um círculo que é tangente ao outro e que passa por dois pontos. Apesar de seu problema mais difícil é fazer um círculo tangente a três.

Primeiro e segundo problema

Anteriormente este problema, não são simples de executar, que são: desenhar o círculo através de pontos portres(PPP) y trazar a circunferência passa Opaco para DOS puntos y es una recta tangente a(PPR). São mostrados abaixo:

Círculo passando por três pontos.

Tangente a uma linha de passagem e através de dois pontos

Terceiro problema

Ahora Vamos a centrarnos na caça de una circunferência tangente a otra y que passo para DOS puntos. Passos para resolver são como se segue.

1. Encontramos a bissetriz do segmento que une os pontos dados, ele deve estar os centros dos círculos que.
2. A linha que une os pontos que sabemos que será o eixo radical dos círculos que todos nós.
3. Em seguida, desenhe um círculo auxiliar passando pelos pontos e cortar o círculo dado e desenhar uma linha reta ligando os pontos de intersecção dos dois círculos. Na intersecção desta linha com a linha que liga os dois pontos (eixo radical) achei o centro radical.
4. Nós encontramos as tangentes a partir do centro para a circunferência dada radical, estes pontos de tangência dos círculos também estamos procurando.
5. Por fim, adicione os pontos de tangência com o centro do círculo e onde a perpendicular cortar os pontos dados temos as circunferências centros de soluções.

Quarta problema

Vamos a con Continuar de caça una circunferência tangente a Tres rectas, Neste caso, haverá quatro soluções possíveis, como será mostrado abaixo na figura.

O procedimento é simples:
-Como sabemos, o centro dos círculos deve estar nas bissectrizes internos e externos, que formam três linhas. Circunferências produzindo procurado nas intersecções dessas linhas.

Quinto problema

A partir da próxima caça a explicar aa Ser una circunferência tangente um dos rectas y cual passagem para um ajuste.

Neste caso, falamos de várias possibilidades:

1- Si las rectas se Cortan y de encaixe se encuentra Entre DESENCADEIA:

Neste primeiro caso, o que vamos hllar a bissetriz do ângulo e encontrar a contrapartida do ponto dado, após o que o problema é reduzido a um círculo tangente a uma linha recta que passa por dois pontos

( acima explicado).

2-: Pode acontecer que o ponto de dado pertence a uma das linhas dadas:

Neste último caso, não é traçar as bissetrizes dos dois áangulos formando duas linhas eo ponto dado desenhar uma perpendicular à linha que contém o que bisectors asas cortadas em pontos procurou, ou seja, os centros das circunferências.

3: Por Último hablaremos o posibilidad de Opaco las dos rectas Dadas Sean paralelo.

Um sabe que o ponto se encontra entre as duas linhas, portanto traçar uma circunferência com centro em A e diâmetro igual à distância entre as linhas. Assim, obtém-se os centros das duas soluções, na intersecção com o meio paralelo. O ponto também pode encontar em uma determinada linha, como o ponto B , , portanto, encontrar o centro do círculo como a intersecção da solução média paralela e perpendicular a uma das duas linhas paralelas do dito ponto B.
Mostrado abaixo:

Sexto problema

Este problema é baseado em fazer um círculo tangente a dois outros e ao passar por um ponto .. Vamos ter quatro soluções possíveis.

Nós consideramos o ponto que damos como um centro de investimento e tomar um dos dois círculos, como circunferência de auto-inversão, em seguida, traçar os pontos dobles.Y circunferncia posteriormente encontrar o circunferenica de inversión.las circuanferencias tangentes ao valores apresentados são inversas da solução e também contêm circunferências pontos de tangência em sua interseção com a circunferncia pontilhada encontrar dobles.Posterioemente . Finalmente circunferências tarzar.

Sétima edição

Vamos a explicar Como se Realiza a circunferncia tangente um dos rectas y que um su Vez es otra tangente a circunferência dada.Podremos Dividir Este problemático dos:

1- Discutir o caso em que o dado é circunferência entre as linhas. O primeiro passo é a construção de ambos os lados de uma das linhas rectas paralelas a uma distância igual ao raio do dado circunferncia, Em seguida, encontrar o simétrico em relação ao centro da referida circunferência em relação à bisetriz o ângulo formado por duas linhas. A linha reta que liga o centro e sua curta contrapartida a uma das linhas retas em um ponto, a partir desse ponto, desenhar tangentes ao centro circunfercia e que passa pelo centro da contraparte. Em seguida, desenhe um arco com o ponto central e fazendo encontrado pelos pontos de tangência, Então, o que temos é cortada paralela ao tribunal de primeira encontrado em dois pontos, finalmente levantou-se estes pontos perpendiculares ao corte bissetriz em dois pontos, Serén que os centros do circunferncias buscadas.Para para encontrar a outra solução de dois circunferncias tudo que você tem a fazer é repetir o processo novamente com o outro paralelo, então temos as quatro soluções para o problema.

2- Pode acontecer que uma determinada tangente circunferência das linhas, , por conseguinte, feito para resolver o mesmo modo como antes, mas dois dos círculos correspondendo à solução par auxiliar externo ( é efectuada da mesma maneira como antes) e as outras duas soluções são reduzidos a um caso em que duas linhas se cruzam, pois sabemos a beliscar um.

Oitava Problema:

Neste caso, o problema é de Apolônio dado dois círculos e uma linha, encontrar um círculo que é tangente aos dois círculos e em linha reta.

Este caso complicado, oito soluções, redução é conseguida no caso de um ponto (o centro de uma das circunferências), uma linha (um paralelo ao dado) e um perímetro (um círculo concêntrico com o esquerdo). Circunferências concêntricas dos círculos dados tem um raio R R e Rr serem raios R e r dadas circunferências e paralela ao r hetero distância está representada na linha indicada.

Assim, estes quatro círculos foram obtidos considerando um círculo concêntrico de raio R r; das quatro circunferências, dois são obtidos com um dos paralelo e os outros dois com a outra.

Estes quatro círculos são obtidos solução agora a considerar um círculo concêntrico de raio Rr e novamente, uma das duas linhas paralelas e com os outros dois.

Eis as oito soluções na mesma figura.

Nona edição

Vamos desenvolver o penúltimo evento dos dez problemas de Apolônio antes de atingir o problema fundamental, neste caso, vamos explicar um circunerencia passando por um ponto e é tangente a um círculo, em vez de uma linha.

Dependendo da colocação dos dados que têm quatro soluções, mas em alguns casos não atingiram qualquer.

Para relizarlo tem que seguir uma série de passos:

1. A linha é o valor do investimento da circunferência , encontrar uma linha perpendicular a essa linha e que passa através do centro de uma determinada circunferecia, assim encontramos no centro do círculo de investimento( O ponto I no desenho).
2. Traço arbitrário um círculo que passa pelo ponto dado e pontos que têm corte reto tarzado a circunferência ea contrapartida diretamente dadas.Hallamos determinado ponto e também o eixo central radical e radical.( Os pontos P e P'en desenho)
3. Traçamos a bissetriz entre os pontos P e P 'e lá você vai encontrar os centros de solução círculos. Então, o poder tarazamos 90 CR-O segmento de arco e, assim, chegar a definir o lugar de tangência T.
4. Focada no CR e CR-T cortar raio r em T1 e T2. De T1 ar a mediatriz corta o PP’ em S2 e um corte perpendicular de T2 a S1, centros da solução de dois círculos.
5. Assim, obtém-se duas soluções.

1. A fim de obter as outras duas soluções, devemos considerar o centro de investimento negativa e encontrar um ". Arbitaria Traçamos um círculo que passa pelos pontos A, A 'e P e em seguida, como no caso anterior, encontrar o ponto de centro e P'y eixo no radical.
2. Podemos segmento de arco 90 CR-O, obtendo-se assim o local de tangência T, como no caso anterior, em cenro CR e CR-T raio encontrar os pontos de tangência 3 e 4 para cortar a linha de dois pontos.
3. Desenhe a mediatriz do segmento PP '. Desde T3 a mediatriz linha corta ar PP'en S3 e outro perpendicular de corte T4 em S4, centros dos dois círculos outra solução.

Décimo Problema.

Finalmente, vamos falar sobre o problema de Apolônio fudamental, em que uma tangente a um círculo completo três. Neste caso, pode obter até oito soluções, dependendo de como as três circunferências que nos dão são. É realizado como se segue:

A primeira coisa a fazer é encontrar a seis centros homotecia, três interno e externo três, dos três círculos que nos dão. Estes seis pontos que ser em quatro linhas. Então o que fazemos é tomar um dos quatro em linha reta e encontrar o poste sobre os três círculos, posteriormente se juntou ao centro radical do círculo com três pólos e obter os pontos de tangência dos círculos com circunferências dadas.Lo procurou Tudo o que fazemos agora é escolher bem entre os seis pontos de tangência encontrado para desenhar dois círculos tangentes. Este procedimento que fizemos com um dos direto, o que fazemos com os outros três, a fim de obter as oito soluções.

Ele mostra uma imagem de como seria a solução final. É um pouco complicado realizar este exercício e isso é evidente na foto.

As informações obtidas a partir de: “Geothesis” “Zonabarbieri” e geometria Bella.

Este artigo foi escrito pelos alunos da Escola de Engenharia Aeroespacial para uma experiência educacional inovadora de usar o blog como uma ferramenta educacional. Meu reconhecimento aos seus esforços para sintetizar os métodos trabalhados na sala de aula neste artigo não foram ignoradas quase que inteiramente, na forma e no conteúdo