Geometria projetiva: Perspectivity

Los fundamentos proyectivos se basan en las definiciones de “triplos ordenados de elementos"E “quaternions que permiten establecer el concepto de razón doble“, e os relacionamentos chamados “perspectivas” entre elementos da natureza idênticos ou diferentes.

Essas relações perspectivas, que vai ser utilizado para determinar os sistemas de representação projecções, definido de dois operadores projectiva:

Projeção
Seção

Projeto a partir de um vértice V uma série rectilínea s, formado por um conjunto de pontos alinhados A, B, C …. obter o feixe é reto a, b, c … vértice no centro de projeção V.

Seções por una recta s um feixe de linhas simultâneas a, b, c …Vértice V, es obtener la serie rectilínea de puntos alineados A, B, C ….baseado em linha reta s.

Se tomarmos esses quatro elementos de formas geométricas (séries e fazer linhas retas) podemos determinar quádruplos de elementos que têm um valor específico de sua propriedade, como nós definimos o estudo quadruplica de artigos encomendados. Este valor, como discutido, é a mesma no caso de cuaterniones em linhas pontilhadas, e se uma projecção ou corte são de outra. Você dizer:

(abcd) = (ABCD)

A razão transversal de quatro linhas de um único feixe, é o número de pontos obtidos como uma secção em linha recta que não contém qualquer vértice do feixe.

Da mesma forma, temos a dupla teorema:

A razão transversal de quatro pontos da mesma série, Obtém-se como a projecção recta a partir de qualquer ponto de que não contêm a base da série.

Dizemos que a linha eo feixe são seção de perspectiva ou se você está projetando um outro.

Nós primeira definição, portanto, de perspectivity entre as formas da mesma classe, mas de natureza diferente (Vs pontos seguidos).

Podemos estabelecer uma perspectiva conceito similar entre duas vigas ou duas séries?

Boca perspectivity reta.

Podemos dar diferentes definições de perspectivity entre dois feixes coplanares reta.

Dois feixes de diferentes vértices reta, V e V', são perspectivos entre si, como pode ser obtida como uma projeção de um conjunto comum.

e: eixo perspectivo

Quando se projecta a partir do vértices V e V’ pontos (Abc…) perspectivo de uma série de dois feixes com um feixe comum são obtidos ( d = d '), para que ele sustenta que os elementos relacionados quaternions são idênticos:

(abcd) = (ABCD) = (A'B'C'D ')

Feixes de vértices V e V 'são perspectivo com eixo perspectivo retas e apoio (base) Série projetando.
Cada linha de feixe de vértice V e seu homólogo feixe vértice V ' corte em que o eixo.
O elemento d = d 'que contém a base de V e V' vigas, é um elemento duplo

Perspectivity entre conjuntos de pontos.

Como em cada teorema podemos estabelecer em geometria projetiva, pode obter uma mudança dupla o elemento que determina. Assim, no caso de uma série de pontos spectivity encontrar uma definição semelhante ao que é dado para as vigas direitas:

Dos série de pontos de bases diferentes, s e s', são perspectivas entre si, como pode ser obtido na forma de um feixe de secção única.

V: centro perspectivo

Aos cortes por r reta e r’ raios (abc…) Não duas perspectivas de uma série que têm um ponto comum são obtidos ( D = D '), para que ele sustenta que os elementos relacionados quaternions são idênticos:

(ABCD) = (abcd) = (A'B'C'D ')

Os conjuntos de base r e r'São perspectivas com centro perspectivo suporte de ponto V (vértice) feixe que seccionado.
Cada ponto da série de base ry seu homólogo séries de base r’ projeta que o centro.
O elemento D = D 'contendo a base r r' série, é um elemento duplo

Dualidad en el plano

Vemos por lo tanto que existe una dualidad entre las propiedades y teoremas que vinculan a los punto y las rectas del plano, pudiéndose obtener unos de otros al cambiar las palabras punto y plano en los enunciados, y las operaciones de proyección por las de sección.

Como resumen de lo anterior, podemos presentar un simple diagrama que simplificará lo expuesto. Veremos más adelante la importancia de las relaciones perspectivas para entender las proyectivas.