Аполлония и его десять проблемы

Один из наиболее полных статей они написали мои студенты в геометрии классы описывающие, как решить так называемую “Аполлония проблемы”.

Определение приходят прямо окружностей или геометрические ограничения определяются касательные основанных на семействе геометрических задач большой интерес.

Группы “AG-Мы не Хикс” знакомит нас справедливо и тщательность в этом вопросе. Опубликовано первоначально здесь, принадлежащих группы испытывают “Блоги экспериментальные”, Статья буквально транскрибировать, добавив некоторые ссылки в тексте, которые дополняют. Благодаря Диего, Алиса, Клара, Сара и Серхио

Аполлония и его десять проблемы

Биография:

Перед разработкой теорий и Аполлония проблемы мы представим краткую биографию Apolonio.

Греческий математик Аполлоний родился в Перге(262 До нашей эры- 190 До нашей эры),был учеником Архимеда. Ни что известно о его жизни, кроме введения, сделанные в некоторые из его трактатов которых состоит его большая работа “Коническая” используется в первых членов: “эллипс, параболы и гиперболы“. Он также открыл и описал “Эпициклами” с которым Птолемей использовал бы, чтобы объяснить движение планет. По мнению историков Аполлония была вспыльчивым характером, который сделал его тяжелое лечение.

Среди произведений Аполлония Перга геометрических стенд “Места Модели” где операции проводятся самые важные вещи, чтобы знать в геометрический дизайн с современным языком и аналитической геометрии, как рядом: расширение, перевод, инвестиции, вращения и подобия.

Одним из основных вкладов в геометрии Аполлония является предлагаемый системный касаниями проблемы, которые приведены в следующей инструкции:

"С учетом трех объектов, которые могут быть, каждый из них, пунктов, прямые кругах, dibujar одной окружности, касающейся их три ".

Различные проблемы tangencias обменять полученные из этих элементов приводит к их conocidos примере классической геометрии, с различными предлагаемых решений, которые были делает его в долгой истории.

Выделяться 10 случаев:

• три очка,
• Три прямые,
• точек и одной линии,
• прямых и точка,
• точек и один круг,
• круги и точки,
• прямых линий и один круг,
• Две окружности и линии,
• точка, прямой и окружности
• Tres окружностей.

Другой фундаментальный вклад Аполлония, являются Conics.

Конические сечения были известны как Аполлония выполняется изучение этих, но его трактат движется по другим теориям. Ранее считалось, что Аполлоний гиперболы, Притча, и эллипс срезы, полученные из различных конусов в соответствии с углом при вершине.

Так, Аполлонием показали, что эти кривые могут быть получены из тех же участков конуса, Изменяя наклон плоскости, пересекающую это. В дополнение к удостоверяющий, что конус не должно быть прямого конуса, может быть круглой, разносторонний или косой.

Кроме конических кривых обладают интересными свойствами.

Одним из наиболее важных Аполлонием обнаружено являются отражением свойства.

Отражение притче: Если есть свет от удаленного источника с параболического зеркала, так что падающие лучи параллельны оси зеркала, Затем свет, отраженный от зеркала ориентирован на фокус.

Легенда гласит, что Архимед, современником Аполлония, Это свойство позволяет защищать Сиракуз от римлян сожгли эти корабли. Для этого, произвела система параболических зеркал, которые концентрируют солнечный свет попал в римских кораблей.

Сегодня В отеле есть несколько утилит, таких как: радиолокационных систем, ТВ антенны или солнечных зеркал, в частности.

Отражение эллипса: если источник света помещают в фокусе эллиптического зеркала, Затем свет отражается в зеркале концентрируется в другом фокусе.

А именно, если луч от одного фокуса, отражаясь от луч эллипс следовать по пути, который прошел через другой фокус.

На основании этого свойства, мы видим, что если у нас есть бильярдный стол с эллиптическими, и запустил мяч от одного фокуса, с любого направления, Вернуть с этой игровой стол и пройти через другой фокус.

Если мяч подпрыгивая будет продолжаться через первый фокус, и так далее, llagase пока не то время, когда траектория мяча будет путать с большой полуоси эллипса.

Если вместо этого они бросают мяч с любой точки, кроме одного фокуса не был одним из линии, соединяющей, сегменты фигуры описывают траекторию мяча другой эллипс.

И наоборот, если начальная точка мяч был точкой на линии, соединяющей фокусы, Это привлечет конверт гиперболы с теми же очагами.

Строительство Любопытно эллиптической номера потолка. При принятии звук из одного фокуса, это будет звучать с яркими ясности с другом фокусе. Также звук будет занимать то же время, чтобы передаваться от одного фокуса на другой, независимо от направления, которые мы считаем вещания. Этот эффект также позволяет звукоизоляция номеров.

Отражение гиперболы: лучи, исходящие от одного из фокусов гиперболы отражаются так, что отраженные лучи, кажется, прибывают из другого источника.

Это свойство было использовано для создания LORAN, который является радио гиперболической навигационного устройства, который был использован и по-прежнему используется, Очевидно, в меньшей степени в связи с появлением GPS и другие системы, Для фиксирования положения морских и воздушных судов.

Создан на основе расчета разницы во времени, полученные в приемник сигналов, исходящих от двух передающих станций, расположенных на земной поверхности.

Как позиционирование осуществляется в двух измерениях, если вы знаете, разность расстояний до двух станций может найти геометрическое место точек, где вы можете найти лодке или самолете, которая является гиперболой очаги которых сезонов.

Зная пересечением двух или более гиперболы можно определить положение самолета или судна.

TEN ПРОБЛЕМЫ Apolonio

Тогда мы будем рассматривать 10 фундаментальные проблемы Аполлония, которые основаны на касания линии и круги.

Давайте начнем говорить о вашей основной проблемой, , из которых решены всех остальных случаях, то есть все в конечном счете быть сведено к окружности, касательной к другому и проходящей через две точки. Хотя его самые трудные проблемы является окружность, касающуюся трех.

Первая и вторая проблема

Ранее эта проблема существует просто выполнить, которые являются: проведем окружность через точки portres(PPP) Y trazar перевал окружности Que Puntos для DOS у ES касательной Una Recta(PPR). Ниже приведены:

Окружности, проходящей через три точки.

Касательной к линии и проходящая через две точки

Третья проблема

Ahora Vamos centrarnos от охоты касательной окружности Una Otra у Que шаг для DOS Puntos. Шаги, чтобы решить следующие.

1. Мы находим биссектрисе отрезка, соединяющего данные точки, она должна быть центры окружностей, что мы.
2. Линия, соединяющая точки мы знаем, что будет радикальной осью окружностей, что все мы.
3. Затем нарисуйте вспомогательной окружности, проходящей через точки и резки данного круга и нарисовать прямую линию, соединяющую точки пересечения двух окружностей. На пересечении этой линии с линией, соединяющей две точки (радикальной оси) нашли радикальный центр.
4. Найдем касательные от центра к окружности данного радикала, эти точки касания окружностей также мы ищем.
5. Наконец, мы добавим точек касания с центра круга и где, вырезанной перпендикулярно заданных точках мы получим решение окружности центров.

Четвертая проблема

Vamos Con continuar охоты Una окружности касательной Tres РЕКТАС, В этом случае будет четыре возможных решения, как будет показано ниже на картинке.

Процедура проста:
-Как мы знаем, в центре круга должна быть на внутреннем и внешних биссектрис, которые образуют три линии. Окружность производящих стремились в местах пересечения этих линий.

Пятая проблема

Со следующей охоты explicar аа Ser Una окружности касательной DOS РЕКТАС у CuAl проход для здорового.

В этом случае мы говорим о нескольких возможных:

1- Si-лас РЕКТАС cortan если у шнапса если encuentra Entre UNLEASH:

В первом случае, что мы будем hllar биссектрисе угла и найти аналог данной точке, после чего задача сводится к окружности, касательной к прямой, проходящей через две точки

( объяснено выше).

2-: Может случиться, что данная точка принадлежит одному из этих двух,:

В последнем случае мы делаем, это проследить биссектрис двух áangulos образуя две линии и данную точку нарисовать перпендикулярно линии, который его содержит биссектрисы которого крылья сократить в пунктах искали, т.е. центрами окружностей.

3: Для último hablaremos posibilidad из Que Лас-DOS РЕКТАС Dadas Шон параллельные.

Знаю, что точка находится между двумя линиями, Поэтому рисовать окружность с центром и диаметром, равным расстоянию между линиями. Таким образом, получаем центрами двух растворов при пересечении с середины параллельно. Дело также может encontar в данной линии, такие как точки B , Поэтому найти центр круга как пересечение параллельной средней решение и перпендикулярно к одной из двух параллельных линий в указанной точке B.
Ниже:

Шестая проблема

Эта задача основана на том, окружности, касательной к двум другим и в то время, проходящей через точку .. У нас будет четыре возможных пути решения проблемы.

Рассмотрим точку, которую мы даем в качестве центра для инвестиций и продолжения одного из двух кругов, как само собой инвертирующий окружности, затем построить точки dobles.Y circunferncia впоследствии найти circunferenica из inversión.las касательные к circuanferencias Приведенные данные являются обратные решения, а также содержат точки касания окружностей в точке его пересечения с пунктирной circunferncia найти dobles.Posterioemente . Наконец окружностей tarzar.

Седьмой выпуск

Vamos explicar Комо если REALIZA circunferncia касательной DOS РЕКТАС у Que Су Vez ES касательной окружности Otra dada.Podremos dividir Эсте проблематичным в DOS:

1- Обсуждение том случае, когда данный окружности между линиями. Первый шаг заключается в построении обеих сторон одной из прямых, параллельных на расстояние, равное радиусу данной circunferncia, Затем найти симметричный к центру указанной окружности по отношению к bisetriz углом, образованным двумя линиями. Прямой, соединяющей центр и его коллегой короткие одному из прямых в точку, С этой точки мы рисуем касательные к circunfercia центра и проходящей через центр коллегой. Затем нарисуйте дугу с центром в точке и сделать найдены через точки касания, так что мы получаем, вырезанной параллельно суд впервые обнаружили в двух точках, наконец встали от этих точек перпендикулярно к биссектрисе вырезать в двух точках, Серен которой центры circunferncias buscadas.Para найти двух других circunferncias решение все, что вам нужно сделать, это повторить процесс снова с другими параллельными, таким образом мы получаем четыре решения задачи.

2- Может случиться, что данной окружности касательной к линии, поэтому направлено на решение таким же образом, как и раньше, но два из кружки соответствуют паре решение внешнего вспомогательного ( выполняется таким же образом, как и раньше) а два других решений сводятся к случаю, когда две линии пересекаются, так как мы знаем одно NIP.

Восьмая проблема:

В этом случае, Проблема Аполлония является Даны две окружности и линии, найдется окружность, которая касается двух кругов и прямых.

Это сложный случай, восемь решений, снижение достигается случае точка (центре одной из окружностей), линии (одна, параллельную данной) и окружность (концентрической окружности влево). Концентрическим окружностям данные окружности с радиусом R г и Rr быть радиусами R и т данной окружности и параллельно прямой расстояния г показана на данной линии.

Так, этих четырех кругов были получены рассмотрении концентрические окружности радиусом R R; из четырех окружностей, два получены с одной из параллельных, а два других с другими.

Эти четыре круга получаются решения сейчас рассматривают концентрические окружности радиуса Rr и снова, одна из двух параллельных и два с другой.

Вот восемь решений на том же рисунке.

Девятый вопрос

Давайте развивать предпоследнего события из десяти проблемы Аполлония до достижения фундаментальной проблемой, В этом случае мы будем объяснять одно circunerencia, проходящей через точку и касательной к окружности вместо строки.

В зависимости от размещения данных у нас есть четыре решения, но в некоторых случаях не достигли любого.

Чтобы relizarlo должны следовать ряд шагов:

1. Линия инвестиций фигуру окружности , найти линии, перпендикулярной этой линии и проходящая через центр данной circunferecia, таким образом мы находим центр круга инвестиций( POINT I на чертеже).
2. Произвольные след окружность, проходящую через данную точку и моменты, которые прямого покроя tarzado окружности и коллегой прямо dadas.Hallamos данной точке, а также радикальных и радикально центральной оси.( точки Р и рисунок P'en)
3. Мы отслеживаем биссектрисе между точками Р и Р ', и там вы найдете центры решение кругах. Тогда дуга состоянии tarazamos 90 CR-O сегмента и таким образом получить для определения места касания T.
4. Ориентированные на CR и CR-т сократить радиуса г в T1 и T2. От T1 АР перпендикуляр пересекает PP’ В S2 и один из вырезанной перпендикулярно к S1 T2, центрами двух кругов решение.
5. Таким образом, получаем два решения.

1. Для того чтобы получить два других решений мы должны учитывать негативный инвестиционный центр и находить ". Arbitaria Мы нарисовали круг, который проходит через точки, 'И Р, а затем, как и в предыдущем случае, найти центральную точку и оси р'у в радикальных.
2. Мы можем сегмент дуги 90 CR-O, с получением расположение Т касания как и в предыдущем случае cenro в радиусе CR и CR-T найти точки касания 3 год 4 чтобы сократить линию в двух точках.
3. Перпендикуляр к отрезку PP '. С T3 биссектрисы перпендикулярных надрезов AR PP'en S3 и другое перпендикулярно T4 сокращение S4, центров другое решение двух кругов.

Десятая проблема.

Наконец, давайте поговорим о проблеме Аполлония fudamental, в котором полный круг касательной к трем. В этом случае мы можем получить до восьми решений в зависимости от того, как три обхвата, которые дают нам есть. Выполняется следующим образом:

Первое, что нужно сделать, это найти homotecia шесть центров, три внутренних и три внешних, из трех кругов, которые дают нам. Эти шесть пунктов оказались на четыре линии. Затем, что мы делаем, это принять одну из четырех прямых и найти полюса на трех кругов, впоследствии присоединились к радикальным центре круга с тремя полюсами и получить точки касания окружности с окружностями dadas.Lo искали Все, что мы сейчас сделать, это выбрать хорошо среди шести точках касания найден нарисовать два круга касательной. Эту процедуру мы сделали с одним из прямых, что мы делаем с другими тремя, чтобы получить восемь решений.

Это показывает картину того, как это будет окончательное решение. Это немного сложно выполнении этого упражнения, и это видно в этой картине.

Информация, полученная из: “Geothesis” “Zonabarbieri” и Белла геометрии.

Эта статья была написана студентами Школы аэрокосмической техники для инновационного образовательного опыта использовать блог как инструмент обучения. Мой знак признания его усилий, чтобы синтезировать методы работали в классе в этой статье, не были нарушены почти полностью, по форме и содержанию