Uno de los primeros problemas de geometría métrica que propongo a mis alumnos sirve para iniciar el modelo geométrico de análisis a la vez que repasamos las transformaciones básicas estudiadas en etapas anteriores.
El problema se plantea como un caso real de estudio, aderezado con una historia que varía según se profundiza en el análisis, y de forma jocosa lo denomino “El puente sobre el río Guay”, o el “problema de los dos pueblos y el puente”.
Hay libros y libros. Algunos sirven mayoritariamente para equilibrar alguna mesa coja, mientras, otros, no dejan de apasionar.
La geometría como ciencia milenaria se encuentra reflejada en todos los aspectos que rodean la historia del ser humano. Su conocimiento ha permitido el desarrollo de la pintura, la arquitectura, la interpretación de la naturaleza …
En particular el segmento áureo, la denominada proporción divina o regla de oro de la geometría, aparece de forma sistemática en todos los modelos geométricos siendo un tema básico de la formación de nuestros ingenieros actuales.
Uno de los conceptos que más cuesta asimilar en las primeras clases de geometría proyectiva es el de punto impropio. Un punto impropio es un punto que se encuentra en el infinito y que podemos traducir o interpretar como una dirección.
Mientras en la geometría métrica dos rectas se cortan o son paralelas, en la geometría proyectiva siempre se cortan en un punto propio o impropio, lo que no cambia en ningún caso la operatividad con este modelo geometrico-matemático.
Geometría y origami es un libro de Stella Ricotti publicada por Homo Sapiens que transmite “felicidad” desde el mundo de las matemáticas. Su autora nos conduce al mundo de la geometría “jugando” desde las bases topológicas que subyacen en una hoja de papel.
Un recurso didáctico sin duda de gran valor que se puede introducir en diferentes niveles educativos; permite “tocar” la matemática desde la concreción de los modelos geométricos que expresan su perfección.
De las diferentes soluciones que se pueden dar al problema propuesto de obtención de circunferencias con condiciones angulares ( que pasan por un punto, son tangentes a una circunferencia y forman un ángulo con una recta), vamos a analizar aquella solución que utilice la aplicación de los conceptos de potencia utilizados en el “Problema Fundamental de Tangencias” ( PFT ).
La búsqueda de modelos generalistas puede ser el primer paso formativo de un geómetra. Posteriormente podremos analizar caminos específicos a este problema concreto que pudieran simplificar su trazado.
Recuperando algunos artículos de mis alumnos, que pudieran desaparecer al borrar sus blogs de la experiencia de innovación educativa, he visto este del grupo pi-tágoras que une los polígonos y lo lúdico de forma muy acertada.
El enfoque educativo en forma de competición es un valioso recurso que no tiene que hacer perder la rigurosidad en los planteamientos formativos. Al contrario, permite explorar el conocimiento de forma crítica y a la par entretenida. Este grupo de alumnos ha acertado en su enfoque, que ya citamos en su día.
Uno de los primeros artículos que escribieron mis alumnos del grupo “Catetos de la Geometría” fue sobre los aspectos más básicos de la geometría: la topología. A ellos les resultó curioso el concepto y, sin darse cuenta, estaban profundizando en los principales aspectos que configuran un sistema lógico axiomáticos geométrico: la continuidad.
Empezábamos la experiencia de innovación educativa introduciendo los blogs como herramienta dinamizadora del grupo y nos encontrábamos con esta perla. No dejaré de aprender de ellos.
La inversión es una transformación que permite resolver problemas con condiciones angulares. Su aplicación puede ser directa o servir para reducir los problemas tratados a otros más sencillos de naturaleza conocida.
Los diferentes enfoques con los que podemos tratar un problema serán objeto de estudio mediante el desarrollo de un clásico y sencillo problema de tangencias.
La inversión es una transformacion homográfica que conserva las relaciones angulares (es conforme). Su principal aplicación en geometría es la determinación de problemas con condiciones angulares entre los que se encuentran la resolución de ejercicios con tangencias.
La homotecia es una transformacion homográfica que conserva las relaciones de medida entre dos segmentos homotéticos, además de ser paralelos entre sí, por lo que determina figuras semejantes y mantiene las relaciones angulares (es conforme).
Su principal aplicación en geometría es la determinación de problemas con relaciones de áreas en figuras semejantes; también es de utilidad para la resolución de algunos ejercicios de tangencias.
Los problemas de determinación de circunferencias con radio conocido que cumplen restricciones geométricas son ejercicios de naturaleza similar a los vistos para rectas. Estos se resuelven mediante la intersección de lugares geométricos.
En particular, si consideramos a la recta como circunferencia de radio infinito, estaremos por tanto en el caso estudiado de determinación de rectas con condiciones angulares.
