פּראָבלעם פון אַפּאָללאָניוס : ccc

Cualquiera de los problemas de tangencias que se engloban bajo la denominación de “problemas de Apolonio” puede ser reducido a una de las variantes estudiadas del más básico de todos ellos: די פונדאַמענטאַל פּראָבלעם פון טאַנגענץ (פּפט).

En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental simplificar el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad y/o diametralidad.

En este caso vamos a estudiar el que denominamos “Caso de Apolonio ccc“, ניימלי, el caso del problema de tangencias en el que los datos vienen dados mediante condiciones de tangencias a tres circunferencias (ccc).

Podemos enuncia por lo tanto el problema de la siguiente manera:

Determinar las circunferencias que son tangentes a tres circunferencias.

De las 8 posibles soluciones que tiene este problema en el caso más general, analizaremos el caso más sencillo representado en la siguiente figura en la que t1 y t2 son las soluciones buscadas y c1, c2 y c3 los datos de partida.

Supongamos el caso en el que las tres circunferencias dato tienen diferente diámetro y no se cortan entre sí, siendo exteriores cada una a las otras dos.

די centros de inversión positivos de dos circunferencias son los de האָמאָטעסיאַ que las relacionan. En la figura I12 es el centro de inversión entre las circunferencias C1 y C2, siendo e1 su circunferencia de autoinversión (radio la raíz de la potencia de inversión).

La circunferencias tangentes a C1 y C2 (isogonales), como las buscadas, serán dobles en esta inversión y por lo tanto serán ortogonales a e1, circunferencia de autoinversión.

Las tres circunferencias de autoinversión se encuentran en un haz elíptico de circunferencias, por lo que las circunferencias dobles en las inversiones descritas deberán ser ortogonales a estas circunferencias de autoinversión y por lo tanto pertenecer al haz conjugado, en este caso un haz hiperbólico de circunferencias.

Las circunferencias buscadas tendrán por lo tanto su centro en el eje radical del haz elíptico formado por las circunferencias de autoinversión, y tendrán por eje radical la recta base del haz anterior.

Deberemos encontrar por lo tanto una circunferencia del haz hiperbólico de puntos límites L1 y L2, puntos fundamentales del haz elíptico, que sea tangente a cualquiera de las circunferencias dato. Por ejemplo C1.

Hemos reducido el problema a la determinación de una circunferencia de un haz que sea tangente a otra circunferencia: Generalización del Problema Fundamental de Tangencias.

Para resolver el problema determinaremos el Centro Radical, CR, de las circunferencias del haz al que pertenece la solución y de la circunferencia que establece la condición de tangencia.

Los puntos de tangencia los obtendremos determinando la potencia de dicho centro respecto de la circunferencia dato o, וואָס איז דער זעלביקער, obteniendo la circunferencia de centro el centro radical que es ortogonal a la circunferencia dato . Los puntos T1 y T2 son los de corte entre estas circunferencias.

Los centros de las soluciones se encontrarán en la recta base del haz hiperbólico al que pertenecen las soluciones y alineados con los puntos de tangencia y el centro de la circunferencia dato (ya que dos circunferencias tangentes tienen alineados sus centros y el punto de tangencia).