任何問題切線落在標題下 “阿波羅尼奧斯問題” 可以減少到最基本所有的研究變種之一: 切線的根本問題 (PFT).
在所有這些問題，我們會考慮的基本目標，以減少問題提出的這些重要案件之一, 通過改變定義基於正交等概念的限制.
在這種情況下，我們將研究我們稱之為 “阿波羅尼奧斯的情況下碾壓“, 亦即, 對於相切於其中的數據是由相切的條件下給定的直的問題 (ŗ) 和兩個圓 (CC).
我們因此可以設置出問題如下:
確定兩個圓的切線和線的圈子
問題四個可能的解決辦法之一
這個問題有四個可能的解決辦法, 應詳細分析了為滿足適用于每個案件的設計條件的方面.
假設，這一問題的資料由 C1 和 C2 O1 和 O2 的圓圈中心, 和直 r, 在上圖中所示.
在研究 在平面上的投資 我們看到直線可以變換在圈子裡考慮投資中心到圓周上的點.
Autoinversion 的圓周半徑 (它) 我們讓它從投資的權力 IP * IP’ = IQ * 智商’ = 它 * 它’ 實施建設, 例如, 我們所看到的 腿部定理.
假設的周長 “Ç” 是一個受歡迎的後的解決方案, 與圓周相切 C1. 如果我們投資 C1 和 (c) 與中心之一 C1 (在 I1), 逆周長將切線，因為轉換符合. 周長 C1 成一條直線自 I1 位於 C1.
如果我們選擇權的方式， Ç 將雙, c = c’, 轉換的線 C1 將相切 Ç, y la circunferencia c = c’ 這將是 autoinversion 的正交周長.
這種分析是什麼讓我們獲得正交約束，用於我們的問題, 而在積極的投資力量，圓和直線之間發生.
在我們的案例中心 I1 和 I2 投資中心可以考慮圈子變換 C1 和 C2 直道 ŗ.
在每個這些轉換, 我們正在尋找的圈子, 解決方案, 他們將雙周長，因此必須交到 autoinversion.
此問題可陳述從 autoinversion 的新圈子, 因為他們必須向他們交:
確定正交圈兩和一條線相切 (或周長)
此新的語句是一例相切的基本問題, 從給定的正交圈兩個屬於確定的共軛梁. 在這種情況下, 共軛梁須由 L1 和 L2 的點限制在其基礎上直.
該解決方案應決心解決這個最後的問題:
確定是相切的線束圈 (圓周).
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