PIZiadas gráficas

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Cómo se genera un Fractal Recursivo.

fractalLos fractales han sido corrientemente conocidos mediante su aspecto o expresión más artística. Benoît Mandelbrot defendió su importancia que ahora se empieza a vislumbrar. Escher los dibujó a partir de su imaginación, sin saber que representaba complejas ecuaciones.

(Imagen M.C. Escher’s “Gravity”)

La utilidad de los fractales en diversss disciplinas, como modelos generadores de sistemas complejos, es un campo de investigación cada vez más actual.

Una aproximación a la geometría de los fractales se puede realizar fácilmente mediante la curva de Koch.

Curva de Koch

La curva de Koch, también conocida como copo de nieve es un fractal que puede obtenerse mediante diferentes procedimientos como los denominados IFS o sistemas de funciones iteradas (deterministas o no), sistemas basados en reglas, etc.

El algoritmo recursivo goza de la virtud de representar además un concepto muy asociado a los fractales: el infinito. La esencia de la recursividad permite describir de una forma muy simple la de la propia curva. Un universo que contiene a otro y este a su vez copia el patrón a menor escala (de forma contractiva) en una secuencia que se repite infinitamente.

La curva de Koch pertenece al grupo de los fractales autosimilares[1], siendo el método de obtención del tipo determinista.

Generación de la Curva de Koch

Para la determinación de un fractal determinista se necesita un elemento de partida denominado iniciador, y un patrón de modificación del iniciador llamado generador.

El iniciador se subdivide en partes que son sustituidas por el generador en un proceso repetitivo e infinito.

La curva de Koch toma como iniciador un segmento de línea recta.

El generador divide en tres partes iguales el segmento, elimina el tramo central y añade otros dos, en su lugar, de iguales dimensiones. Los ángulos se corresponden con los de un triángulo equilátero.

iniciador
Generador i=1

El proceso se repite recursivamente, aplicando el generador a cada uno de los segmentos resultantes.

i = 2
i = 3

Dimensión Fractal

La dimensión de un objeto es un concepto topológico que sitúa o clasifica a los objetos en espacios métricos. La noción intuitiva de espacios con dimensiones enteras choca con las denominadas dimensiones fractales, que toman valores reales.

La curva de Peano es una curva capaz de llenar el plano. ¿Tiene por lo tanto dos dimensiones?, cabe preguntarse.

Se asocia la dimensión de un fractal con la aspereza, o fragmentación, del mismo, de manera que una dimensión mayor presentará un aspecto más rugoso o dentado. En cualquier caso da información caracterizándolo acerca de su complejidad.

Existen diferentes procedimientos de cálculo [1] de las dimensiones fractales, como la dimensión de Hausdorff, Similaridad interna, Bouligand, Kolmogoroff…

Se puede establecer basandose en iteraciones o en analogías de las divisiones del Espacio Euclídeo[2]:

Al dividir los lados de un cubo por su punto medio, se pueden determinar n=8 cubos idénticos con longitud de sus lados la mitad de la del original.

El factor de escala s=1/2 permite relacionar al valor n de forma que:

n.sD=1

siendo el valor de la variable D el de la dimensión del objeto.

De forma similar al dividir un cuadrado con n=4 partes iguales, se cumple la relación con s=1/2 ,siendo en este caso D=2 la dimensión del objeto.

La curva de Koch tiene una relación s=1/3, con n = 4, por lo que su dimensión fractal es:

D=ln4/ln3 ~ 1.269

Autosemejanza

La repetición de los patrones topológicos de estos fractales (a diferentes escalas) llevan a denominarlos autosemejantes.

Contienen partes que son versiones reducidas en tamaño del objeto entero.

En el caso de poder aplicar variaciones aleatorias a las subpartes de escala reducida, se dice que el fractal es estadísticamente autosemejante.

La curva de Koch se puede generar, en cada iteración, repitiendo cuatro veces el patrón generador expuesto.

En la figura se ha remarcado uno de los elementos repetidos para la determinación de la segunda iteración. Trasladando y copiando el generador a la escala adecuada se pueden ir generando los diferentes pasos o iteraciones en su proceso generador.

  • La función admite dos parámetros que identifican la línea iniciadora e informan del número de la profundidad de recursividad a realizar.
  • Al comienzo de la ejecución verifica si se cumple la condición de parada, es decir, si no hay que llamar a la función de nuevo.
    • Si es la última iteración se pinta la línea
    • Si no
      • Divide la línea en los cuatro tramos necesarios
      • Llama recursivamente a la función por cada uno de los tramos, reduciendo el número de iteraciones pendientes de calcular.


Función_Pinta_Koch_Recursivo(Linea2D,NumIteraciones)

Para calcular los nuevos segmentos que se generan a partir de uno cualquiera AB, se determinan las coordenadas de los mismos de la siguiente manera.

Los puntos C y D se obtienen mediante semejanza, siendo las correspondientes coordenadas :

Ci = Ai + (Bi-Ai)/3; y Di = Bi – (Bi-Ai)/3;

El punto E se encuentra en el eje de simetría de la figura, a una distancia H del segmento AB y sobre una perpendicular por su punto medio.

También se puede encontrar girando 60º el punto D con centro en C.

Fractales en el arte

Diversos trabajos de naturaleza artística han utilizado de manera consciente o no, estructuras de diseño geométrico cuya esencia se obtiene en los fractales.

Las líneas más conocidas se encuentran en representaciones generadas informáticamente que buscan formas coloristas, con profundidad tridimensional, a partir de diferentes algoritmos.

Otros artistas han trabajado sin embargo con medios tradicionales, buscando una representación del pensamiento a través de la unión del grafismo artístico y los estúdios de geometría.

Cabe destacar el trabajo de M. C. Escher en su serie “Gravity”, “Double Planet” etc., donde se pueden encontrar los fractales de Kepler [4] y [5].

Estos toman otras formas como iniciadoras (estrella de cinco puntas)

o en tres dimensiones

REFERENCIAS

 

Recursive Fractals: Koch Curve [JAVA]

 


[1] FRACTALS Non-Integral Dimensions and Applications. John Wiley & Sons. University of Paris VII
[2] Gráficos por computadora con OpenGl. Donald Eran. Pearson Prentice Hall
[3]”Computers and Graphics” Vol. 19, No. 6, pp. 885-888, 1995
[4] Keplerian Fractals: http://www.mhri.edu.au/~pdb/fractals/keplerian/
[5] Back to Hop’s Gallery: http://clowder.net/hop/index.html


Una de las clasificaciones existentes los divide en Autosimilares (Losautosimilares estadísticamente permiten definir o modelar árboles, arbustos y otras plantas), Autoafines (Los autoafines estadísticamente que permiten definir terrenos, agua, nubes etc.) y Conjuntos Invariantes de fractales ( que incluyen a los autocuadráticos como el conjunto de Mandelbrot)
Imagen de Síntesis

Imagen de Síntesis

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