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La geometría de chicle [ Alumnos ]

topologiaUno de los primeros artículos que escribieron mis alumnos del grupo “Catetos de la Geometría” fue sobre los aspectos más básicos de la geometría: la topología. A ellos les resultó curioso el concepto y, sin darse cuenta, estaban profundizando en los principales aspectos que configuran un sistema lógico axiomáticos geométrico: la continuidad.

Empezábamos la experiencia de innovación educativa introduciendo los blogs como herramienta dinamizadora del grupo y nos encontrábamos con esta perla. No dejaré de aprender de ellos.

Os dejo su artículo, tal y como lo escribieron. (Por cierto, el vídeo es genial)

LA GEOMETRÍA DE CHICLE

– ¿Cuántos lados tiene una circunferencia?
– Dos, el de dentro y el de fuera.
Aunque parezca un chiste matemático, a lo largo de esta entrada descubriréis que no lo es del todo.Hablamos de topología: es una rama de la geometría que estudia únicamente las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen invariantes cuando sufren transformaciones.
Es una geometría sin medidas, llamada también geometría de la membrana de goma o del chicle, puesto que las figuras siguen siendo las mismas aunque las sometamos a deformaciones (retorcer, distorsionar, estirar, contraer…) pero sin desgarramientos ni roturas: es como si estuvieran hechas de goma o plastilina.

Por ejemplo, el tamaño y la forma no son propiedades topológicas: un globo se puede hinchar o deshinchar, deformarse en un cubo o tomar la forma de una jirafa sin necesidad de desgarrarlo.
Sin embargo, una cuerda que está unida por las dos partes con un nudo o no, sería una propiedad topológica. Una de estas propiedades de las curvas en el espacio, es que una curva cerrada divide al plano que la contiene en dos partes: la interior y la exterior.

El número de dimensiones de una figura, la proximidad, el tipo de textura, el hecho de tener o no borde, el número de agujeros… son también propiedades topológicas.

El número de agujeros que presenta una figura es lo que se conoce como su género (es el número máximo de cortes que se le puede hacer sin partirla en dos trozos).

  • Una esfera maciza es de género 0, puesto que carece de agujeros y sólo es necesario un corte para romperla en dos partes.
  • Una rosquilla tiene género 1, pues tiene un agujero y se le puede hacer un corte sin romperlo en dos pedazos.
  • Unas gafas sin cristales tienen género 2, porque al tener dos agujeros se les pueden hacer dos cortes sin romperlas en dos partes.
Una esfera, un cubo y una pirámide son topológicamente lo mismo porque podríamos transformar uno en otro sin necesidad de romper ni unir sus partes.
Sin embargo, una circunferencia no es lo mismo que un segmento, puesto que habría que partirla por algún punto.Un ejemplo típico es el de la rosquilla y la taza de café, figuras topológicamente equivalentes, de género 1.

Y si lo pensáis, los seres humanos también somos de género 1.

Somos topológicamente equivalentes a las rosquillas: nuestro tubo digestivo correspondería al agujero de un donut.

Aquí os dejo un curioso vídeo:

La topología es por supuesto una disciplina matemática, y como tal, a menudo en el trabajo teórico no hace falta tener un método para encontrar la solución, sino que lo importante es saber que existe tal solución.
Por ejemplo, siempre hay un par de puntos diametralmente opuestos (antipodales) sobre la superficie de la Tierra que tienen exactamente la misma temperatura y presión. Estos puntos van variando y no hay manera de encontrarlos, pero podemos demostrar que existen siempre.

Históricamente, las primeras menciones a una geometría sin medidas proceden de Leibniz, quién la llamógeometría de la posición. Pero no es hasta la resolución del famoso problema de los puentes de Königsberg por parte de Euler, cuando se habla de “topología”.

Aquí tenéis más temas relacionados en los blogs de nuestros compañeros: problema de los puentes de Königsberg y Cinta de Möbius .

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