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El problema de la mesa de billar: Solución

billar_thumbAl plantear el problema de la mesa de billar, que consiste en golpear a una de las dos bolas que se encuentran en la mesa (la A por ejemplo) de forma que ésta impacte con la otra (la B) dando previamente en una de las bandas (bordes de la mesa), dejábamos el problema cerrado a un caso de simple rebote, es decir, en una única banda.

Podemos generalizar el problema considerando que se pueden dar, antes de impactar con la segunda bola, un número determinado de impactos con las bandas (bordes laterales) de la mesa, pero para simplificar el análisis lo resolveremos primero en el caso más sencillo: una sola banda.

Supondremos además una posición generalista de las bolas sobre la mesa de juego, de forma que no tengamos situaciones particulares que puedan conducir a soluciones singulares. En la siguiente figura se esquematiza un posible caso de estudio.

bolas de billar

El objetivo o solución del problema es determinar un cierto punto “P” sobre la banda, donde debe rebotar la bola “A” antes de impactar con la bola “B”. La dirección “d” por tanto con la que lanzaremos la bola A quedará determinada por la recta AP.

problema mesa de billar

Para resolver el problema obtendremos el simétrico del punto “B” respecto de la banda “n” en la que se encuentra el punto “P” buscado. Este punto simétrico al que llamaremos ” B’ ” nos permitirá obtener la dirección d ya que el ángulo en P que forman las rectas “n” y PB’ es el mismo que el que forman “n” y “PB” por ser el triángulo PBB’ isosceles y la recta “n” coincidir con su altura sobre el lado BB’.

Por otra parte sabemos que los ángulos que forman dos rectas AP y “n”, por ejemplo, en el punto “P” a un lado y otro son iguales al ser opuestos por el vértice.

En la figura se han marcado estos ángulos (iguales) por lo que el rebote cumpliría con las reglas de la reflexión tal y como se proponia en el enunciado del problema.

simetria mesa de billar

Para generalizar el problema a varias bandas introduciremos una nueva condición de rebote sobre otra banda, la “m” por ejemplo. La solución nos llevará de nuevo a plantear simetrías para conservar los ángulos en el rebote de las bandas. En este caso deberemos realizar la simetría del caso anterior y a ésta añadirle una nueva respecto de la banda “m”. El nuevo punto ” B” ” nos permitirá determinar la trayectoria inicial y obtener el punto de impacto en la primera banda (P1), desde el que resolveremos el nuevo punto (P2) por reducción del problema al modelo anterior.

doble simetria mesa de billar

¿Sabrías resolverlo a tres bandas?

GEOMETRÍA MËTRICA

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