Figuras equivalentes : Cuadrado equivalente [I]

Las figuras geométricas pueden compararse entre sí tomando como referencia para esta comparación tanto su forma como su tamaño.

Estas clasificaciones tienen utilidad al facilitar su comprensión y manipulación, ya que permiten agrupar las transformaciones que se efectúan sobre ellas en función de criterios estructurados.

En base a las diferentes combinaciones que podemos encontrar en estas comparaciones las clasificaremos en:

• Formas semejantes: Tienen igual forma pero diferente tamaño
• Formas equivalentes: Tienen diferente forma pero igual tamaño (Área o Volumen)
• Formas congruentes: Tienen igual forma y tamaño (son iguales)

En geometría plana dos figuras equivalentes son las que tienen igual área, por lo que para obtener una figura equivalente a otra dada deberemos igualar las expresiones de sus respectivas áreas.

Area figura 1 = Area figura 2

Esta expresión servirá de base para el estudio de esta relación. Ya que relaciona formas cuadráticas nos serán de utilidad los teoremas de la altura y el cateto, así como las construcciones derivadas del concepto de potencia; Estos modelos nos resolverán la obtención de medias proporcionales.

Dividiremos el estudio de la equivalencia entre formas geométricas en tres estadios diferenciados:

• Introducción al concepto
• Obtención del cuadrado equivalente a una forma dada
• Obtención de una forma equivalente a otra dada.

En general, para obtener una forma equivalente a otra dada, utilizaremos un cuadrado equivalente como forma intermedia entre dos figuras equivalentes. Por ello, analizaremos primero la forma de obtener un cuadrado equivalente a una figura geométrica.

Introducción al concepto de equivalencia entre figuras

En la figura siguiente vemos un conjunto de triángulos equivalentes. Todos ellos comparten la base (b), y tienen la misma altura (h) ya que dos de sus vértices son comunes (B y C) y el tercero se encuentra en todos ellos sobre una recta paralela a la base, a distancia h, por lo que su área es en todos los casos b*h/2 (base por altura entre dos).

Triángulos equivalentes

Cuadrado equivalente a un triángulo

Para determinar el área equivalente de la de un triángulo realizaremos una construcción que nos permita obtener una media proporcional, relacionando este área con la equivalente de un cuadrado. De esta forma obtendremos el lado “l” de un cuadrado que tenga el mismo área que el triángulo dado.

Podremos utilizar cualquiera de las construcciones que utilizan formas cuadráticas, como las derivadas del concepto de potencia o los teoremas de la altura y el cateto que se obtienen a partir de la geometría del triángulo rectángulo.

Si utilizamos el teorema del cateto, la construcción será similar

Se incluye por último la construcción por potencia

Cuadrado equivalente a un polígono

Para determinar el cuadrado equivalente a un polígono lo reduciremos a un triángulo, eliminando vértices que serán sustituidos por otros que mantengan el área pero reduzcan el número de lados.

Por ejemplo, reduciremos el siguiente cuadrilátero a un triángulo

Para ello usaremos una diagonal que deje a un lado un único vértice. (en un cuadrilátero vale cualquiera, en un polígono en general no). Por el vértice que ha quedado aislado del resto (P4) trazaremos una paralela a la diagonal (P1-P3)

La idea es sustituir el triángulo P1-P3-P4 por otro de igual área pero que tenga su vértice en la prolongación de uno de los lados del polígono. Usaremos el punto P5 para sustituir al P4 de forma que el nuevo triángulo comparte la base con el anterior (P1-P3) y tiene la misma altura ya que el vértice se encuentra en la paralela a la base que pasa por P4.

El nuevo polígono cuenta con un lado menos. Una vez reducido el número de lados a tres, resolveremos como hemos visto en el caso anterior.

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Veamos a continuación cómo determinar el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo de base “b” y altura “a”

El área del rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, y ésta debe ser igual al cuadrado del lado “l” del cuadrado equivalente.

En este caso vamos a utilizar el teorema de la altura, aunque podríamos igualmente usar el del cateto o el modelo basado en el concepto de potencia, como en los casos anteriores.

Para completar la construcción obtendremos mediante un giro la base del cuadrado buscado a partir del lado que usaremos como altura.

Cuadrado equivalente a un círculo

La relación de equivalencia no se podrá establecer de forma exacta en todos los casos, como es el de “la cuadratura del círculo“, pero lo podremos abordar con suficiente aproximación.

Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de geometría, consistente en hallar —con sólo regla y compás— un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Sólo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la “cuadratura del círculo” cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver.(W)

Método 1

Una aproximación al número Pi es la suma de la raíz de dos y la raíz de tres, 3.14626436994 que nos da un error de 0.0046

Podemos calcular gráficamente estos segmento a partir de triángulos rectángulos sobre la circunferencia.

Giraremos estos segmentos para situarlos sobre una recta que servirá para la construcción de media proporcional.

Si aplicamos el teorema de la altura entre R y raíz de dos mas raíz de tres por R obtendremos el lado del cuadrado equivalente buscado, con la precisión que hemos comentado anteriormente.

Método 2

Aunque existen muchos métodos, con diferentes aproximaciones, comentaremos sólo uno más para cerrar esta sección, dejando al lector la interesante tarea de descubrir otros con mayor o menor aproximación.

En este caso aproximaremos el número Pi como 22/7 = 3.14285714286 lo que nos da un error de 0.0012.

Tomaremos un segmento de longitud R y otro de longitud R*22/7 para obtener el lado del cuadrado como media proporcional entre ambos. Una posible construcción es la que sigue, en la que se aprecia cómo se divide el radio en 7 partes y cómo se giran los segmentos para construir la media mediante el teorema de la altura. Se deja al lector el análisis detallado de la construcción.

Geometría métrica