Die definición proyectiva de la cónica permite empezar a resolver problemas clásicos de determinación de nuevos elementos de la cónica (nuevos puntos y tangentes en ellos), así como encontrar la intersección con una recta o la tangente desde un punto exterior. Estos problemas pueden resolverse por diferentes métodos más o menos complejos conceptualmente y con trazados más o menos laboriosos.
Veremos a continuación cómo determinar los dos posibles puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos. Como herramienta auxiliar para la resolución utilizaremos una circunferencia como series de segundo orden.
El problema vendrá determinado por 5 punte (P1 … P5) y una recta r. La cónica no se encontrará trazada. En el análisis se representa para servir de apoyo conceptual aunque no podremos usar la curva directamente en la resolución del problema.
Si entendemos la cónica como una curva que contiene a los puntos producidos por la intersección de dos haces proyectivos y que además contiene a los vértices de dichos haces, podemos generar dos haces con vértices dos de los puntos y proyectar los tres restantes de la cónica para encontrar su rayos.
Si seccionamos la recta r por los rayos de estos haces proyectivos obtendremos dos series superpuestas de primer orden de base la recta en la que queremos determinar los puntos de intersección.
Los puntos de intersección que buscamos serán los elementos dobles de las series superpuestas, por lo que el problema se reducirá a obtener elementos dobles de dos series superpuestas.
Para resolver este problema proyectaremos desde un punto auxiliar (Vaux) para pasar las series superpuestas a haces concéntricos y a continuación seccionaremos por una circunferencia que pase por el nuevo vértice. De esta forma conseguiremos series de segundo orden sobre la circunferencia que son proyectivas de las series superpuestas sobre la recta.
Para determinar los elementos dobles en las series de segundo orden obtendremos su eje proyectivo, siendo los puntos dobles los de corte de este eje con la base circular. En caso de haber un sólo punto doble la recta sería tangente a la cónica, y si no hubiera ninguno (eje proyectivo exterior a la circunferencia) la recta r no cortaría a la cónica.
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