Metrische Geometrie: Loci. Arco Lage : Problema II

Las técnicas de solución de problemas basadas en la intersección de lugares geométricas se suelen asociar a problemas sencillos de la geometría clásica.

En estos casos es el planteamiento de la solución lo que entraña la mayor complejidad, ya que los lugares geométricos derivados suelen ser elementos geométricos sencillos.

Einige dieser grundlegenden Probleme erzeugt auf Wunsch einen Punkt zu bestimmen, die eine Reihe von Bedingungen erfüllt respecto de otros elementos geométricos presentes, como pueden ser:

• Que su distancia a un elemento geométrico sea un cierto valor.
• Que la distancia a dos elementos sea la misma
• Que desde ese punto la potencia respecto de una circunferencia tenga un cierto valor
• Que desde ese punto se vea a un segmento bajo un cierto ángulo

Podríamos enunciar algunos casos más, pero estos son suficientes para plantear algunos problemas elementales que nos permitan jugar con la geometría más básica. En todos los casos deberemos fijar un número de condiciones geométricas que completen el número de restricciones necesarias para determinar un único elemento, o bien un número finito de ellos.

Einführung in das Problem

Plantearemos un problema en el que debamos encontrar un punto del plano que cumpla unas condiciones geométricas dadas.

Supongamos que usamos restricciones como la última presentada, que aporta una relación angular entre un punto y un segmento:

Bestimmen, einen Punkt, von dem eine Segment-Anzeige unter einem bestimmten Winkel.

Claramente este problema nos da un número infinito de soluciones, ya que todos los puntos de un arco capaz del ángulo dado sobre el segmento AB serán solución del problema.

En la figura vemos uno de los posibles puntos “P” que cumplen estas condiciones.

Sería fácil resolver el problema de determinación de un punto desde el cuál se vea a un segmento bajo un ángulo, y a otro segmento diferente bajo otro (o el mismo). El problema se resolvería mediante dos arcos capaces para determinar mediante su posible intersección, si hay algún punto que pertenezca a ambos y sea solución por tanto al problema al cumplir las dos condiciones.

Enunciado del problema

En el caso anterior, los ángulos tenían un valor concreto. Si liberamos esta condición y pedimos que el punto sea tal que observa a los dos segmentos bajo un mismo ángulo, nos encontraremos que la solución es un nuevo lugar geométrico y existen infinitas soluciones. Este lugar geométrico puede ser más o menos complejo.

Para limitar el problema deberemos añadir nuevas restricciones, pudiendo ser la misma respecto de un tercer segmento. In diesem Fall, el enunciado podría ser el siguiente:

Determinar un punto P desde el que se observe bajo el mismo ángulo a los tres lados de un triángulo ABC.

¿Sabrías resolverlo?

En cualquier caso te ponemos un enlace a la SOLUCIÓN

GEOMETRÍA MÉTRICA